Замечания

1) В доказательстве указан практический способ приведения формул к ПНФ. При фактическом приведении удобно «по пути» устранять двойные отрицания всякий раз, когда они возникают (а также производить любые другие упрощения, если они возможны).

2) В силу соотношений II. 1 – II 2 отрицание формулы равносильно формуле , где – квантор, «противоположный» Q_i .

Помимо рассмотренных предваренных формул (и соответственно ПНФ), иногда вводят и более специальные виды нормальных форм, например, нормальную форму Сколема, которая имеет предваренный вид (т.е. все кванторы вынесены в начало формулы), не содержит функциональных символов и все ее кванторы всеобщности предшествуют кванторам существования либо, наоборот, все кванторы существования предшествуют кванторам всеобщности (понятно, что к такой форме легко перейти от ПНФ, используя свойства кванторов группы II).

Примеры

Пример 2.5

Привести формулы к ПНФ:

а) ;

б) .

Решение

Преобразуем формулы, устраняя «лишние» логические связки и «опуская» отрицания на предикаты, а затем последовательно «вытаскива-ем» кванторы из-под логических связок с помощью преобразований типа А или типа В, при необходимости применяя переименование переменных.

а)

.

б)

.

Задачи

2.8. Привести к ПНФ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з)

.

Контрольные вопросы

1. Дайте общее определение предиката. Что такое «местность» предиката? тождественно-истинный предикат? тождественно-ложный предикат?

2. Как определяются логические операции над предикатами?

3. Чем отличается формула логики высказываний от формулы логики предикатов?

4. Что такое интерпретация формулы логики предикатов? Параметр формулы? Замкнутая формула?

5. Что называют коллизией переменных?

6. Какие формулы логики предикатов называют равносильными? Конгруэнтными? Тождественно-истинными? Тождественно-ложными?

7. Дайте определение кванторов существования и всеобщности в случае одноместного и многоместного предиката.

8. Попробуйте доказать свойства кванторов.

9. Какие понятия формального языка выполняют роли, аналогичные тем, которые в естественном языке выполнятся: подлежащим? Сказуемым? Дополнениями? Местоимением? Союзами?

10. Что такое терм? Функциональная сложность терма?

11. Что такое формула? Логическая сложность формулы?

12. Что такое предваренная нормальная форма?

3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов

3.1. Общее представление об исчислении высказываний Сводка теории

Таблицы истинности позволяют ответить на многие важные вопросы, касающиеся логических связок: является ли данная формула тавтологией, противоречием или ни тем и ни другим; влечет ли она логически другую данную формулу или являются ли две формулы логически равносильными.

Более сложные вопросы логики уже не могут быть решены с помощью истинностных таблиц или каких-либо других подобных эффективных процедур. Поэтому используется другой метод – аксиоматический.

При формализации математической теории полностью отвлекаются от ее содержания. Теоремы воспринимаются просто как формулы, которые могут быть выведены по определенным правилам. Поэтому формальные теории иначе называют исчислениями. О знаках и формулах исчисления приходится, однако, рассуждать содержательно: так, рядом с формальной теорией возникает «метатеория», которая тоже пользуется некоторыми обозначениями. Эти обозначения метатеории следует строго отличать от знаков и формул, относящихся к собственно формальной теории.

Существует много вариантов формализации логики высказываний. Опишем подробнее один из них; назовем его «теория L». Формальная (аксиоматическая) теория L считается определенной, если выполнены следующие условия:

1) Задано некоторое счетное множество символов теории L (языка теории). Основные символы теории L суть: пропозициональные буквы , ..., , ... ; логические связки , , ,  ; скобки (, ).

Конечные последовательности символов теории называются выражениями теории L.

2) Имеется подмножество выражений теории L, называемых формулами теории и определяемых индуктивно с помощью следующих двух пунктов:

1. пропозициональные буквы суть формулы L;

2. если A и B – формулы, то формулами являются и следующие выражения: , , , .

3) Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории L, в рассматриваемом варианте теории их десять:

, (ив1)

, (ив2)

, (ив3)

, (ив4)

, (ив5)

, (ив6)

, (ив7)

, (ив8)

, (ив9)

(ив10)

Здесь – конкретные пропозициональные переменные, так что (ив1) – (ив10) есть список из десяти конкретных формул языка L.

4) Принимаются правила вывода, по которым можно из уже установленных теорем получать новые. В теории L – два таких правила вывода.

Первое правило имеет вид (MP) .

Это правило, называемое modus ponens (правило заключения), утверждает, что если формулы и установлены как теоремы, то формула также является теоремой.

Второе правило имеет вид: (S) .

Здесь суть формулы, – попарно различные пропозициональные буквы. Через обозначен результат одновременного замещения всех вхождений букв в на формулы соответственно. Отметим, что это правило подстановки (S) можно применять и к пропозициональным буквам , которые вовсе не входят в . В этом случае соответствующее никуда не подставляется и просто не играет никакой роли.

Выводом назовем любую конечную последовательность формул , ,..., , такую, что каждая формула этой последовательности есть либо аксиома, либо совпадает с какой-либо предыдущей формулой этой последовательности, либо получается из каких-то предыдущих формул этой последовательности с помощью одного из правил вывода. Скажем, что вывод , ,..., является выводом своей последней формулы , и формулу назовем выводимой, или, что то же самое, теоремой теории. Будем записывать это в виде: L A или просто A.

В дальнейшем будем употреблять сокращенный вывод, когда в качестве могут стоять теоремы теории L, полученные раньше, имея в виду, что мы всегда можем дополнить вывод, вставляя недостающие его отрезки.