- •2. Элементы логики предикатов
- •2.1. Формулы логики предикатов и их преобразование Сводка теории
- •Определение
- •Определение
- •Определение
- •Определение
- •Определение
- •Замечания
- •Утверждение 2.1
- •Утверждение 2.2
- •Примеры
- •Пример 2.3
- •Замечания
- •Примеры
- •Контрольные вопросы
- •3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов
- •3.1. Общее представление об исчислении высказываний Сводка теории
- •Примеры
- •3.2. Общее представление об исчислении предикатов Сводка теории
- •Примеры
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Индивидуальное задание (контрольная работа) правила выполнения и оформления индивидуального задания
- •Варианты индивидуального задания
- •Варианты формул для заданий 2 - 7:
- •Литература
- •2. Элементы логики предикатов 34
- •2. Элементы логики предикатов 34
- •Сергей Михайлович Воротников
- •Введение в математическую логику
- •Учебное пособие
- •681013, Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27
Примеры
Пример 2.1
Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения используемых предикатов:
а) если х делится на у и у делится на z, то х делится на z;
б) х – простое число.
Решение
а) Разбивая фразу на простые предложения, видим, что используется только одно свойство двух объектов, поэтому введем предикат = « делится на «. Речь идет, очевидно, о делимости нацело, поэтому областью определения предиката будет множество целых чисел: .
Структура всей фразы описывается конструкцией «если..., то...», значит, самой внешней (последней) связкой нашей формулы будет импликация. Посылка этой импликации описывается конъюнкцией простых предложений, поэтому итоговая формула имеет вид:
.
б) Самый простой подход: ввести предикат = « – простое число», который и описывает всю фразу.
Но математические термины должны быть определены однозначно (что такое «простое» число, которое записывается одной цифрой? или которое записано с помощью повторения одной цифры? или которое можно легко запомнить или записать?), поэтому точный смысл этой фразы может быть воспроизведен с помощью строгого определения. То есть « делится только на 1 и на себя» или, еще точнее, «либо , либо и если делится на любое , то, или , или «.
В последней фразе использован предикат делимости (см. пункт а), предикат равенства = « « и квантор всеобщности. Поскольку понятие простого числа обычно вводят только для натуральных чисел, то . Формула, описывающая последнюю фразу, имеет вид:
.
Пример 2.2
Указать свободные и связанные вхождения переменных в формулы:
а) ;
б) ;
в) .
Решение
Проанализируем область действия каждого квантора, отмечая связанные вхождения общей прямой с засечками снизу, а свободные вхождения переменных стрелочкой сверху. Отметим, что в третьей формуле F и G – функциональные символы (в теориях первого порядка аргументом предиката не может выступать другой предикат).
а) ;
б) ;
в) .
Пример 2.3
Доказать тождественную истинность формул:
а) ;
б) .
Решение
Будем преобразовывать бескванторную часть формул, используя основные логические законы.
а) . Значит, исходная формула тождественно истинна.
б)
.
Значит, исходная формула тождественно истинна.
Пример 2.4
Доказать тождественную ложность формул:
а) ;
б) .
Решение
Будем преобразовывать бескванторную часть формул, используя основные логические законы.
а) .
Значит, исходная формула тождественно ложна.
б)
.
Значит, исходная формула тождественно ложна.
Задачи
2.1. Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения используемых предикатов:
а) «Если произведение двух чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей»;
б) «Через всякую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной»;
в) «Через каждые две точки можно провести прямую, причем, если эти точки различны, то такая прямая единственна»;
г) «Когда у некоего деятеля денег в избытке, он может воспевать что угодно, в том числе и отсутствие денег»;
д) «Всякий кулик свое болото хвалит, а чужое хает».
2.2. Пусть – одноместный, – двухместный, – трехместный функциональные символы. Являются ли термами следующие слова:
а) ;
б) ;
в) ?
2.3. Пусть , , – те же, что и в задаче 2.2, – одноместный, – трехместный предикатные символы. Являются ли формулами следующие слова:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ?
2.4. Выписать все подформулы формулы:
а) ;
б) .
2.5.
а) Найти такие два замещения предикатного символа конкретным предикатом в формуле , чтобы при одном замещении получилось истинное предложение, при другом – ложное.
б) То же для формулы .
в) То же для формулы .
2.6. Доказать тождественную ложность формул:
а) ;
б) .
2.7. Доказать, что:
а) ;
б) .
2.2. Приведение формул к предваренной нормальной форме (ПНФ)
Сводка теории
Определение
Предваренной (или пренексной) формулой называется формула вида , где Qi суть кванторы, а формула A (называемая матрицей предваренной формулы) уже кванторов не содержит.
Если и B – предваренная формула, то B называют предваренной (нормальной) формой (ПНФ) формулы A.
В частности, не исключается и случай n = 0, т.е. бескванторная формула также считается предваренной.
Теорема 2.1
Для всякой формулы существует ПНФ.
Доказательство. С помощью основных логических законов устраняем в формуле все знаки логических операций, кроме (если таковые имеются).
К полученной формуле последовательно применяем в произвольном возможном порядке преобразования двух типов: А и В.
Преобразование типа А. Находим в формуле некоторую часть (подформулу) Ф, имеющую вид , или , или , или , где F, G(x) – какие-то формулы и G(x) содержит свободную переменную x. Пусть для определенности (в остальных случаях все делается точно так же).
Преобразуем Ф следующим образом: проверяем, содержит ли F переменную x, и если нет, то замещаем Ф на (соотношение (III.1)), если да, то заменяем все вхождения x в вхождениями какой-либо новой переменной, скажем, t, не встречающейся в нашей «боль-шой» формуле (соотношение (IV.1)), и затем заменяем на . Таким же образом поступаем с подформулами остальных трех видов (это возможно ввиду коммутативности конъюнкции и дизъюнкции).
Преобразование типа В. Находим в формуле некоторую подформулу, имеющую вид (или ), где G(x) – формула со свободной переменной x, и заменяем ее на (соответственно на ) по соотношениям (II.1), (II.2).
Применяя преобразования типов А и В, мы шаг за шагом «вытаскиваем наружу» все кванторы и, в конце концов, приходим к формуле, в которой ни один квантор не стоит внутри конъюнкции или дизъюнкции, или вслед за отрицанием. Но в такой формуле квантор может стоять только либо вслед за другим квантором, либо в самом начале формулы, т.е. получена ПНФ для исходной формулы.