Определение
Формула называется тождественно-истинной (тождественно-ложной), если при любом замещении входящих в нее предикатных символов конкретными предикатами она переходит в тождественно-истинный (тождественно-ложный) предикат (если она не замкнута) или в истинное (ложное) высказывание (если она замкнута).
Замечания
1) Тождественно-истинная формула и тождественно-истинный предикат – не одно и то же. Тождественная истинность конкретного предиката относится только к его области определения, в то время как тождественная истинность формулы – это «абсолютная истинность», истинность для любых предметных областей. Аналогично – для тождественной ложности.
2)
Из определения непосредственно следует,
что формула
со свободными переменными
тождественно-истинна тогда и только
тогда, когда тождественно-истинна
формула
.
3) Отрицание тождественно-истинной формулы есть, очевидно, формула тождественно-ложная, а отрицание тождественно-ложной – тождественно-истинная.
Для расширения возможностей тождественных преобразований формул логики предикатов используются основные свойства кванторов.
I) Перестановка одноименных кванторов:
;
(I.1)
.
(I.2)
2) Связь между разноименными кванторами:
;
(II.1)
.
(II.2)
3) Вынесение кванторов за скобки:
|
(где Ф не содержит свободной переменной x) |
(III.1) |
|
(III.2) |
|
|
(III.3) |
|
|
(III.4) |
;
;
;
.Замечание
Условие, чтобы формула Ф не содержала свободной переменной x, в соотношениях (III.1 – III.4) является существенным: если оно не выполнено, то соотношения могут нарушаться (после вынесения квантора переменная x в формуле Ф из свободной может превратиться в связанную).
4) Переименование связанных переменных:
|
(вместо x и y можно брать любые другие переменные) |
(IV.1) |
|
(IV.2) |
;
.Замечание
Все введенные равносильности останутся справедливыми, если заменить в них F(x) (соответственно F(x, y)) любой формулой G, содержащей свободную переменную x (соответственно x и y) и, возможно, также и другие свободные переменные.
Отметим в общем виде самый простой из частных случаев, когда для доказательства равносильности формул логики предикатов удается воспользоваться средствами логики высказываний.
Утверждение 2.1
Если в равносильных формулах логики высказываний заменить элементарные высказывания произвольными предикатными символами так, чтобы одно и то же элементарное высказывание заменялось в обеих формулах одним и тем же символом, то возникающие при этом формулы логики предикатов будут также равносильны.
Утверждение 2.2
Если в тождественно-истинной формуле логики высказываний заменить элементарные высказывания произвольными предикатными символами, то возникающая при этом формула логики предикатов также тождественно-истинна (то же справедливо для тождественно-ложных формул).
С помощью свойств кванторов можно производить над формулами логики предикатов тождественные преобразования, причем ввиду утверждения 2.1 в этих преобразованиях можно использовать также любые равносильности логики высказываний. Производя тождественные преобразования в определенном порядке, можно для каждой формулы получить ей равносильную, имеющую особенно простое строение.