.
Элементы логики предикатов
2. Элементы логики предикатов
2.1. Формулы логики предикатов и их преобразование Сводка теории
Функция n переменных (n = 1,2,...) с непустой областью определения, множество значений которой содержится во множестве {1,0}, называется n-местным предикатом.
Если
область определения n-местного
предиката имеет вид
,
т.е. все независимые переменные пробегают
одно и то же множество, то говорят, что
предикат определен
на множестве М.
n-местный предикат может, в частности, принимать для всех наборов значений независимых переменных одно и то же значение, т.е. быть тождественно-истинным или тождественно-ложным.
Если в многоместном предикате фиксировать значения некоторых, но не всех независимых переменных, получается новый предикат с меньшим числом мест.
Если
F
– свойство элементов множества M
и F(x)
– соответствующий этому свойству
предикат (определенный на M),
то предложение: «все элементы множества
M
обладают свойством F»
или «каждый (или любой, или всякий)
элемент множества M
обладает свойством F»-
записывается в виде:
;
а предложение: «во множестве M
существует (или есть, или имеется, или
найдется) элемент, обладающий свойством
F»
– в виде
.
Читаются
эти выражения так: «Для всякого (или для
всех)
»;
«Существует x
такое, что F(x)».
Выражения
и
называются квантором
общности
(или всеобщности)
и квантором
существования
соответственно. При этом обычно говорят:
«квантор по
переменной
x».
Можно рассматривать постановку квантора общности и квантора существования перед знаками предикатов («навешивание» кванторов или «квантификация») как особые операции.
Навешивание квантора общности есть операция, сопоставляющая одноместному предикату F(x) высказывание – истинное, если F(x) тождественно-истинен, и ложное в противном случае. Навешивание квантора существования есть операция, сопоставляющая одноместному предикату F(x) высказывание – ложное, если F(x) тождественно ложен, и истинное в противном случае.
Операции
навешивания кванторов общности и
существования сопоставляют каждому
n-местному
предикату
(n-1)-местные
предикаты
и
соответственно. В последних двух
предикатах переменная
называется связанной,
остальные переменные
– свободными
(или параметрами).
Логико-математический язык первого порядка (первой ступени) L задается набором из четырех множеств:
a) (индивидные) переменные x, y, z, ...;
b) n-местные (индивидные) функциональные символы F, G, H, ... для каждого n;
c) n-местные (индивидные) предикатные символы P, B, S, ... для каждого n;
d) логические связки и кванторы.
Любой 0-местный функциональный символ является (индивидной) константой, 0-местный предикатный символ – логической (пропозициональной) константой.
Если задан язык L, то можно определить некоторые правильно построенные тексты, составленные из символов L и вспомогательных символов – скобок и запятых. Эти тексты называются выражениями языка L и подразделяются на термы и формулы.
Определение
i) Переменная языка L есть терм;
ii)
если
– k-местный
функциональный символ языка L
и
-
термы, то выражение F(
)
есть терм
языка L.
Коротко это запишем в виде правила
вывода:
.
Это обобщенное индуктивное определение показывает, что каждый терм имеет один и только один вид из следующих двух: переменная или константа (из правила ii как 0-местная функция) языка L, либо функция от термов. Таким образом, термы – это те выражения языка, значениями которых являются индивиды. Роль термов состоит в том, чтобы описывать именные формы и имена индивидов.