- •Предисловие
- •Глава 1. Введение
- •1.1. Предмет строительной механики и ее задачи
- •1.2. Кинематический анализ сооружений
- •1.2.1. Связи и их реакции
- •1.2.2. Степени свободы и статическая определимость системы
- •1.2.3. Изменяемые системы
- •1.2.4. Способы образования и структурный анализ
- •1.2.5. Аналитическое исследование системы
- •1.3. Основные уравнения строительной механики
- •Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем
- •2.1. Свойства статически определимых систем
- •2.2. Внутренние усилия в рамах
- •2.2.1. Определения и порядок построения эпюр
- •2.2.2. Построение эпюр в простых рамах
- •2.2.3. Построение эпюр в составных рамах
- •2.3. Расчет плоских ферм
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Метод сечений
- •2.3.3. Метод вырезания узлов
- •2.4. Расчет трехшарнирных арок
- •2.4.1. Основные понятия
- •2.4.2. Внутренние усилия в арке
- •2.4.3. Рациональная ось арки
- •Глава 3. Определение перемещений в
- •3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу
- •3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу
- •3.3. Общие теоремы строительной механики
- •3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
- •3.5. Интеграл Мора-Максвелла
- •3.6. Формула Верещагина
- •3.7. Примеры определения перемещений
- •Глава 4. Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил
- •4.1. Свойства статически неопределимых систем
- •4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения мс
- •4.3. Определение внутренних усилий
- •4.4. Проверка правильности решения
- •4.5. О выборе ос мс. Признаки ортогональности эпюр
- •4.6. Расчет симметричных систем
- •4.7. Расчет неразрезных балок
- •Глава 5. Расчет статически неопределимых арок и ферм методом сил
- •5.1. Расчет статически неопределимых ферм
- •5.2. Расчет статически неопределимых арок
- •Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений
- •6.1. Суть метода перемещений. Основная система мп
- •6.2. Канонические уравнения метода перемещений
- •6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •6.4. Общий метод вычисление коэффициентов
- •Глава 7. Понятие о расчете снс методом конечных элементов
- •7.1. Суть метода конечных элементов
- •7.2. Применение мкэ для расчета стержневых систем
- •Литература
- •Оглавление
6.2. Канонические уравнения метода перемещений
Если основную систему метода перемещений (ОС МП) загрузить нагрузкой, во введенных связях появятся реакции, которые отсутствовали в заданной системе (поскольку не было самих связей).
Обозначим через R1 и R2 реакции во введенных связях и отметим, что поскольку ОС МП является статически неопределимой, эти реакции могут появляться не только под действием приложенной нагрузки, но и в ответ на кинематические воздействия.
Сообщим введенным связям перемещения Z1 и Z2, равные смещениям заданной системы и потребуем, чтобы ОС вела себя как заданная. Это означает, что реакции во введенных связях от смещения этих связей и от заданной нагрузки в сумме должны равняться нулю:
R1 (Z1, Z2, P) = 0;
R2 (Z1, Z2, P) = 0.
Воспользовавшись принципом суперпозиции, представим эти уравнения в виде:
r11 Z1+ r12 Z2 + R1p0 = 0;
r21 Z1+ r22 Z2 + R2p0 = 0,
где rij реакция во введенной i-ой связи от единичного смещения j-ой связи, а Rip0 реакция в этой связи от заданной нагрузки.
Последние уравнения и называются каноническими уравнениями метода перемещений. В отличие от соответствующих уравнений метода сил эти уравнения имеют не геометрический, а статический смысл.
В общем случае для n неизвестных система канонических уравнений метода перемещений имеет вид:
Srij Zj + Rip0 = 0; (i = 1, 2,…, n). (6.1)
Решив эту систему и определив неизвестные Zj, можно найти внутренние усилия по формуле, аналогичной формуле (4.7):
Mp = Mp0 + S`Mi0Zi. (6.2)
Примечание.
В соответствии с принципом суперпозиции перемещение любой фиксированной точки i заданной системы можно найти как сумму двух: перемещения этой точки в ОС МП вследствие смещения введенных связей, и ее перемещения в той же системе под действием заданной нагрузки (рис. 6.3):
Δip = Δ0ic + Δ0ip . (6.3)
Последнее соотношение является аналогом формулы (6.2) для перемещений.
6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
Чтобы определить коэффициенты и свободные члены системы (6.1) нужно предварительно найти эти реакции для отдельных стержней. Соответствующие решения получаются интегрированием дифференциального уравнения изогнутой оси балки или с помощью метода сил и приведены на рис. 6.4, где через i = EJ/l обозначена приведенная жесткость балки.
С помощью этих стандартных решений нетрудно построить эпюры `Mi0 и Mp0 в заданной раме. После этого для определения искомых реакций rij и Rip0 достаточно рассмотреть равновесие ее вырезанных узлов или других элементов, включающих введенные связи.
Пример 6.1. Построить эпюру изгибающих моментов Mp для рамы, рассмотренной в примере 4.3. (рис. 6.5, а).
Решение.
1) Отметим, что заданная статически неопределимая система имеет две лишние связи, и при ее расчете методом сил число неизвестных равнялось двум. При решении той же задачи методом перемещений число неизвестных, равное в данном случае числу незакрепленных жестких узлов, будет равно только единице, поэтому в этом примере МП будет эффективнее метода сил.
2) Основную систему МП получаем, вводя моментную связь в этом свободном узле (рис. 6.5, б).
3) Каноническое уравнение метода перемещений имеет вид:
r11 Z1+ R1p0 = 0. (а)
4) С помощью стандартных готовых решений (рис. 6.4) строим эпюры изгибающих моментов от единичного значения Z1 и от заданной нагрузки (рис. 6.5, в, г):
5) Вычисляем r11 и R1p0 , рассматривая равновесие вырезанного второго узла рамы:
r11 = 7i, R1p0 = ql2/12.
Полагая для удобства EJ = 2, получим i = EJ/l = 1, откуда r11 = 7, R1p0 = 1/3.
6) Решая (а) найдем
Z1 = R1p0/ r11 = – 1/ 21.
7) Искомую эпюру изгибающих моментов (рис. 6.5е) можно построить по формуле (6.2):
Mp = Mp0 + `Mi0Zi.
Нетрудно заметить, что она совпадает с эпюрой, полученной ранее в примере (4.3) с помощью метода сил (рис. 4.5, и).
Примечания:
1. Метод перемещений в отличие от метода сил не требует проведения кинематической проверки – достаточно убедиться в равновесии узлов построенной эпюры Mp.
2. Основная система метода перемещений не требует специального выбора – как в методе сил, поэтому МП легко формализуется и удобен для реализации в компьютерных программах.