- •Предисловие
- •Глава 1. Введение
- •1.1. Предмет строительной механики и ее задачи
- •1.2. Кинематический анализ сооружений
- •1.2.1. Связи и их реакции
- •1.2.2. Степени свободы и статическая определимость системы
- •1.2.3. Изменяемые системы
- •1.2.4. Способы образования и структурный анализ
- •1.2.5. Аналитическое исследование системы
- •1.3. Основные уравнения строительной механики
- •Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем
- •2.1. Свойства статически определимых систем
- •2.2. Внутренние усилия в рамах
- •2.2.1. Определения и порядок построения эпюр
- •2.2.2. Построение эпюр в простых рамах
- •2.2.3. Построение эпюр в составных рамах
- •2.3. Расчет плоских ферм
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Метод сечений
- •2.3.3. Метод вырезания узлов
- •2.4. Расчет трехшарнирных арок
- •2.4.1. Основные понятия
- •2.4.2. Внутренние усилия в арке
- •2.4.3. Рациональная ось арки
- •Глава 3. Определение перемещений в
- •3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу
- •3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу
- •3.3. Общие теоремы строительной механики
- •3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
- •3.5. Интеграл Мора-Максвелла
- •3.6. Формула Верещагина
- •3.7. Примеры определения перемещений
- •Глава 4. Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил
- •4.1. Свойства статически неопределимых систем
- •4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения мс
- •4.3. Определение внутренних усилий
- •4.4. Проверка правильности решения
- •4.5. О выборе ос мс. Признаки ортогональности эпюр
- •4.6. Расчет симметричных систем
- •4.7. Расчет неразрезных балок
- •Глава 5. Расчет статически неопределимых арок и ферм методом сил
- •5.1. Расчет статически неопределимых ферм
- •5.2. Расчет статически неопределимых арок
- •Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений
- •6.1. Суть метода перемещений. Основная система мп
- •6.2. Канонические уравнения метода перемещений
- •6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •6.4. Общий метод вычисление коэффициентов
- •Глава 7. Понятие о расчете снс методом конечных элементов
- •7.1. Суть метода конечных элементов
- •7.2. Применение мкэ для расчета стержневых систем
- •Литература
- •Оглавление
3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
Рассмотрим два состояния плоской стержневой системы, в качестве представителя которой выберем раму.
Обозначим через M1, Q1, N1 внутренние силы первого, а через M2, Q2, N2 – внутренние силы второго состояния. Последним будут соответствовать деформации κ2, g2, e2 и перемещения u2, v2, q2 , связанные зависимостями из §1.3:
dN2/dx = – qx; ü
dQ2/dx = qy; ý (1.10¢)
dM2/dx = Q2 . þ
κ 2 = dq2/dx; ü
g2 = q2 – dv2/dx; ý (1.11¢)
e2 = du2/dx . þ
κ 2 = M2/EJ; ü
g2 = mQ2/GF; ý (1.12¢)
e2 = N2/EF. þ
Напомним, что по отношению к элементу рамы длиной dx внутренние силы, несмотря на название, являются такими же внешними, как и равнодействующая распределенной нагрузки (рис. 3.10, а).
Рис.3.10
Вычислим работу внутренних сил M1, Q1, N1 на перемещениях второго состояния системы (рис. 3.10, б):
dA12 = N1u2 + (N1+ dN1)(u2 + du2) + Q1v2 (Q1+ dQ1)(v2 + dv2) M1q2 +
+(M1+ dM1)( q2+dq2) +qxdx(u2 + du2/2) + qydx(v2 + dv2/2) = N1u2 + N1u2 +
+ N1du2 + dN1u2 + dN1du2 + Q1v2 Q1v2 Q1dv2 dQ1v2 dQ1dv2 M1q2+
+ M1q2 + M1dq2 + dM1q2 +dM1 dq2 + qxdx(u2+du2/2) + qydx(v2+dv2/2). (3.12)
Пренебрегая в (3.12) слагаемыми, подчеркнутыми сплошной чертой, как бесконечно малыми второго порядка и воспользовавшись (1.10) для членов, подчеркнутых волнистой линией, получим:
dA12
=
N1du2
- Q1dv2
+ M1dq2
– qxdxu2
+
qxdxu2
+ qxdxdu2/2
– qydxv2
+
+
qydxv2
+ qydxdu2/2
+ Q1dxq2. (3.13)
Снова, отбрасывая в последнем выражении слагаемые подчеркнутые сплошной чертой как бесконечно малые второго порядка и используя (1.11) для второго члена, подчеркнутого волнистой линией, будем иметь:
dA12 = N1e2dx + M1κ 2dx - Q1(q2-g2)dx + Q1dxq2 =
= (M1κ 2 + Q1g2 + N1e2)dx. (3.14)
Наконец, выражая в (3.14) деформации через внутренние усилия с помощью (1.12), найдем для элемента рамы длиной ds:
dA12 = ( M1M2/EJ + mQ1Q2/GF + N1N2/EF ) ds.
Полная работа получается интегрированием по длине стержня и суммированием по всем участкам рамы. С учетом знака получим окончательное выражение работы внутренних сил первого состояния на перемещениях второго состояния:
W12 = A12 = ( M1M2/EJ + mQ1Q2/GF + N1N2/EF ) ds. (3.15)
3.5. Интеграл Мора-Максвелла
С помощью (3.15) нетрудно получить формулу для определения перемещения i-ой точки упругой системы от приложенной нагрузки.
Рассмотрим два состояния системы: первое – от заданной нагрузки и второе – от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке i в направлении искомого линейного или, соответственно, углового перемещения – (рис. 3.11). Обычно первое из этих состояний называют действительным, а второе – возможным или виртуальным.
Рис.3.11
Обозначим через ip искомое перемещение точки i – в нашем примере на рис. 3.11, а – это вертикальное линейное перемещение.
Пусть Mp, Qp, Np – внутренние усилия первого состояния, а`Mi, `Qi, `Ni – внутренние силы второго состояния.
Воспользовавшись теоремой Бетти:
A12 = A21,
где
A21 = Piip = 1ip = ip,
а
A12 = – W12,
получим с помощью (3.15) искомую формулу для определения перемещений, которая называется интегралом Мора-Максвелла:
ip = ( Mp`Mi /EJ + mQp`Qi /GF + Np`Ni /EF )ds. (3.16)
Таким образом, для определения линейного (углового) перемещения точки i упругой системы в заданном направлении от заданной нагрузки необходимо:
– построить эпюры Mp, Qp, Np в заданной системе от заданной нагрузки;
– построить эпюры `Mi, `Qi, `Ni от единичной силы (единичного момента), приложенной в точке i в направлении искомого перемещения;
– вычислить интеграл (3.16).
Отметим, что перемещения в балках и рамах определяются в основном изгибными деформациями, поэтому для таких систем вместо (3.16) можно воспользоваться формулой:
ip = ( MpMi /EJ)ds . (3.17)
Наоборот, в фермах отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, поэтому перемещения здесь полностью определяются продольными деформациями:
Dip = ò (Np`Ni /EF ) ds=S(Npk `Nik /EFk)lk, (3.18)
где lk и EFk – соответственно длина и продольная жесткость k-го стержня фермы.
Примечания:
Вычисление интеграла (3.17) условно называют перемножением эпюр Mp иMi и записывают это в виде: ip = (Mp Mi).
При вычислении перемещений, как правило, пренебрегают деформациями сдвига.
При выводе формулы (3.16) нигде не предполагалось, что заданная система является статически определимой, поэтому эта формула верна как для СОС, так и для СНС. Тем не менее, в названии главы фигурируют только СОС поскольку, во-первых, пока в нашем распоряжении нет удобного метода определения внутренних усилий в СНС, а во-вторых, для последних систем формулу (3.16) можно упростить.