2.7. Расстояние от точки до плоскости

Постановка задачи. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .

План решения. Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с вершинами , , и , опущенную из вершины на грань (см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.

Расстояние от точки до плоскости равно длине проекции вектора на нормальный вектор плоскости , т. е.

(1)

Поскольку нормальный вектор плоскости ортогонален векторам и , его можно найти, как их векторное произведение:

1. Находим координаты векторов:

, , ,

и нормального вектора плоскости:

.

2. Вычисляем расстояние от точки до плоскости по формуле (1).

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , , .

Решение.

1. Находим координаты векторов:

, , ,

и нормального вектора плоскости:

.

2. Вычисляем расстояние от точки до плоскости по формуле (1):

.

Ответ. ед. длины.

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Ответы. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

2.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором

Постановка задачи. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где точки и имеют координаты и .

План решения. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

(1)

1. В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор .

2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором , проходящим через точку :

.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где точки и имеют координаты и .

Решение.

1. В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор .

2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором , проходящей через точку :

.

Ответ. Уравнение плоскости .

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Ответы. 1. . 2. .

2. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

2.9. Угол между плоскостями

Постановка задачи. Найти угол между плоскостями

, .

План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами

, .

Поэтому угол между плоскостями определяется равенством

.

Пример. Найти угол между плоскостями

, .

Решение. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и . Поэтому угол между плоскостями определяется равенством

.

Таким образом, .

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Найти угол между плоскостями.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

Ответы. 1. . 2. .

3. . 4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. . 10. .