0. 1.6. Понятие непрерывности функции в точке

Постановка задачи. Пользуясь определением, доказать, что функция непрерывна в точке a.

1. Вычисляем

Функция называется непрерывной в точке x=a, если

Это значит, что неравенство имеет решение

2. Для того чтобы найти сначала найдем множество M такое,

что

т.е решим неравенство Затем найдем такое, что

Т огда будем иметь

Это означает, что f(x) непрерывка в точке x=a.

Записываем ответ виде:

Пример. Пользуясь определением, доказать, что функция

непрерывна в точке a=8.

Решение.

1. Вычисляем f(8) = 325.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=8, если

Э то значит, что неравенство имеет решение

.

2. Для того чтобы найти , сначала найдем множество M такое, что

т.е. решим неравенство

, затем найдем такое, что

Тогда будем иметь

3 Решаем неравенство (считая, что

Таким образом,

Следовательно, если

то

т.е. f(x) =5x2+5 непрерывна в точке x=8.

Ответ

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Пользуясь определением, доказать, что функция F(x) непрерывна в точке a.

1. f(x)=4x2-1, a=2	2. f(x)=3x2-1, a=3
3. f(x)=-x2-5, a=1	4. f(x)=-5x2-7, a=2
5. f(x)=-4x2-6, a=3	6. f(x)=-3x2+8, a=4
7. f(x)=2x2+5, a=2	8. f(x)=5x2+2, a=6
9. f(x)=4x2+1, a=8	10.f(x)=2x2-1, a=7

Ответы

1.7. Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где

План решения.

1.Если то функция Pn(x)/Qm(x) непрерывна в точке a и

Если Qm(a) = 0 и Pn (a) 0, то

Если Qm(a) =0 и Pn = 0, то разлагая многочлены на множители, получаем

где Qm-1(a) 0 и Pn-1 (a) 0.

2. Поскольку в определении предела функции при Получаем

Замечание. Если а является кратным корнем многочленов Pn(x) и Qm(x), то Pn(x) = (x-a)kPn-k(x), Qm(x)=(x-a)l Qm-l(x) и

где Qm-l(a) 0 и Pn-k(a) 0.

Пример. Вычислить предел

Решение.

1. Выражение под знаком предела (рациональная дробь) является отношением двух бесконечно малых функций при

Разложим числитель и знаменатель на множители:

2. Поскольку в определении предела функции при аргумент не может принимать значение, равное 3, то можно сократить множитель (x-3)2. Получаем

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Вычислить пределы.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Ответы. 1. 0. 2. 2/3. 3. 0. 4. 2. 5. 1. 6. – 4/3. 7. 0. 8. -1/2. 9. 1. 10. 7/3.

1.8. Вычисление

Постановка задачи. Вычислить предел

где f(x) и g(x) – бесконечно малые функции в точке x=0.

План решения. Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные (табличные).

Если f(x), f1(x), g(x), g1(x) –бесконечно малые функции в точке x=0 такие, что f(x)~f1(x) и g(x) ~ g1(x) в точке x=0, и существует , то существует , причем

Пример. Вычислить предел

Решение. Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых в точке x=0, так как

Бесконечно малые, стоящие в числителе и знаменателе, заменяем на эквивалентные:

Таким образом,

Задания для самостоятельной работы

Условия задач. Вычислить пределы.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Ответы. 1. 2/3. 2. 2. 3. ln 5. 4. – ¼. 5. 1. 6. 1/36. 7. 1. 8. ¼ 99 -1. 10. –e.