Вопросы по теме:

1. Комплексные числа. Действия с ними. Формы записи комплексных чисел.

2. Понятие области ( определение, ограниченная область, граница области, многосвязные области)

3. Функция комплексного переменного (определение,область определения, область значения, предел и непрерывность)

4. Дифференцирование ФКП( понятие производной, понятие дифференциала, понятие аналитической функции, условие Эйлера – Даламбера)

5. Элементарные функции и их свойства*: степенная, показательная, логарифмическая тригонометрические, гиперболические, обобщенные степенная и показательная)

6. Интеграл от ФКП и его свойства. Вычисление контурного интеграла*

7. Теорема Коши для односвязной* и многосвязной области*

8. Независимость интеграла от формы пути интегрирования*

9. Понятие первообразной и неопределенного интеграла от ФКП. Формула Ньютона –Лейбница*

10. Интеграл Коши, интегральная формула Коши

11. Ряды Тейлора, Маклорена и Лорана.*

12. Нули аналитической функции*

13. Классификация особых точек ( типы изолированных точек : устранимая, полюс, существенно- особая)*

14. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах*

15. Вычет относительно полюса*

16. Применение вычетов (практика)

Знать все определения и основные понятия по теме. Уметь вычислять интегралы

Тема 2: Операционные исчисления

Литература:

1. Браславская Н. Б. «Операционные исчисления»

2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления»б т 2

3. Письменный « Лекции по высшей математике», т 2

§1. Преобразование лапласа

1.1 Оригиналы и их изображения

Определение: Оригиналом называется функция ) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим условиям:

а) на любом конечном отрезке функция f(t) имеет не более, чем конечное число точек разрыва первого рода;

б) при ;

в) f(t) имеет ограниченный рост, то есть возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные и , что

при ,

и число называют показателем роста функции f(t).

Определение: Изображением оригинала называется функция комплексного переменного , где , определяемая равенством

.

Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1) называют интегралом Лапласа, а операцию перехода от оригинала f(t) к изображению называют преобразованием Лапласа

1.2 Основные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность. Для любых комплексных чисел и справедливо:

.

2. Подобие (теорема подобия). Для любого

.

3.Теорема запаздывания.

Если f(t) = F(p), тo для любого справедливо

4. Смещение (теорема смещения). Если f(t) → F(p), то для любого комплексного справедливо

.

5. Дифференцирование оригинала.

Предположим, что и , и – оригиналы, тогда справедливо

.

6. Дифференцирование изображения. Если , то

7. Интегрирование оригинала. Если , то

.

8. Интегрирование изображения. Если и функция является оригиналом, то

.

Сверткой функций f₁(t) и f₂(t) наз. интеграл от произведения этих функций f₁(t)*f₂(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.

Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f₁(t) =: F₁(p), f₂(t) =: F₂(p) , то

f₁(t)*f₂(t) =: F₁(p) F₂(p)

71). Каковы показатель роста и изображение оригинала ?

72). По какой причине функция не может быть изображением?

73). Какое изображение имеет оригинал ?

74). Какое изображение соответствует оригиналу ?

75). Какое изображение соответствует оригиналу ?

76). Какое изображение соответствует оригиналу ?

77). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?

78). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?

79). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?

80). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?

81). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?

82). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?

83). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию , то какой вид имеет изображение оригинала ?

84). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , то какой вид имеет изображение оригинала ?

85). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , , то какой вид имеет изображение оригинала ?

86). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , , то какой вид имеет изображение оригинала ?

87). Если некоторый оригинал имеет своим изображением функцию и если , , , , то какой вид имеет изображение оригинала ?

88). Какое изображение имеет интеграл ?

89). Какое изображение имеет интеграл ?

90). Какое изображение имеет интеграл

91). Используя свойство дифференцирования изображения, найти какое изображение соответствует оригиналу ?

92). Используя свойства дифференцирования изображения, определить какое изображение соответствует оригиналу ?

93). Используя свойство интегрирования изображения, найти какое изображение соответствует оригиналу ?

94). Используя свойства интегрирования изображения, найти какое изображение соответствует оригиналу ?

95). Найти функцию, задающую свертку функций ?

96). Найти функцию, задающую свертку функций ?