- •Iy семестр
- •Тема 1:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)
- •2) Тригонометрическая форма
- •3) Показательная форма комплексного числа
- •II. Функция комплексного переменного
- •Iy. Интеграл от функции комплексного переменного
- •Правило вычисления контурного интеграла:
- •Iy.2. Формула Ньютона –Лейбница
- •Iy.3. Теорема Коши для односвязной области
- •Iy.4. Интегральная формула Коши
- •Вопросы по теме:
- •Тема 2: Операционные исчисления
- •§1. Преобразование лапласа
- •1.1 Оригиналы и их изображения
- •1.2 Основные свойства преобразования Лапласа
- •5. Дифференцирование оригинала.
- •§2. Нахождение изображения по оригиналу
- •§3. Нахождение оригинала по изображению
- •§4. Применение преобразования Лапласа к интегрированию линейных неоднородных дифференциальных уравнений
- •Вопросы по теме:
- •Тема 3: Теория вероятностей
- •Письменный « Теория вероятностей» (эл. Уч)
- •Браславская, Коробский «Практические занятия по то»
- •I Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.
- •II Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий
- •III. Формула полной вероятности. Повторение испытаний
- •III.4.Теорема Бернулли
- •III.5. Локальная теорема Муавра Лапласа
- •III.6. Формула Пуассона
- •III.7.Интегральная теорема Лапласа
- •Iy. Случайные величины
- •Iy.1 Ряд распределения св
- •Iy.2 Интегральная и дифференциальные функции св
- •Iy.3 Числовые характеристики св
Сборник упражнений по высшей математике
IY семестр
АУТП, ЭСЭ
Iy семестр
Тема 1:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)
Литература:
Королева Н. Н. «Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления»
Письменный Д. «Лекции по высшей математике», т 2
Комплексные числа (повторение)
Определение 1 Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy,
где i - мнимая единица, и i2 = -1.
x = Re z – действительная часть числа z
y = Im z – мнимая часть числа z
Различные формы записи комплексных чисел
1) Алгебраическая форма z = x + iy
2) Тригонометрическая форма
Действительное число r = называется модулем комплексного числа
z = x + iy. Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z;
Угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается : , где φ = argz -главное значение аргумента комплексного числа;
3) Показательная форма комплексного числа
- уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.
Задания
1). Найдите действительную часть комплексного числа z = 4+2i; z = 6;
z = -7i; ;
Изобразите области
2). Где расположены точки , для которых ; ; ; ; ?
3). ; 4). ; 5). ; 6). ;
Представить в тригонометрической и показательной формах число
7). ; 8). ; 9). ; 10). ; 11). .
II. Функция комплексного переменного
Определение: Комплексная переменная величина W называется функцией комплексной величины Z , если каждому значению, которое может принимать величина Z, соответствует определенное комплексное числовое значение W = u + iv , те w = f(z).
Различают однозначные функции и многозначные
Определение:
Если каждому z D соответствует одно значение w, то функция w = f(z) называется однозначной. Если каждому z D соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.
Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке являются непрерывность в этой точке частных производных 1-го порядка функций и по обеим переменным и выполнение равенств
,
Определение: Функция w = f(x), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической в этой области
12). Найдите множество точек непрерывности функции
13). Найдите точки разрыва функции .
Исследовать на аналитичность
14). ; 15). ; 16). ;
17). ; 18).
19). ; 20). .
Найти аналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части
21). 22).
23). а) б) и 24). 25).
III. Элементарные функции комплексного переменного
III.1. Степенная функция: , где .
а) натуральное число, тогда .
б) , где
, где
Функция многозначная ( q – значная) Однозначная ветвь этой функции получается, если придать к определенное значение
в) , где несократимая дробь.
, где
III.2. Показательная функция:
, где определяется равенством
III.3. Логарифмическая функциия:
Lnz = ln ;
III.4. Тригонометрические функции:
, ,
III.5. Гиперболические функции:
, , , .
; - формулы связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями
III.6. Обобщенная показательная функция w = и обобщенная степенная w = (а, z - произвольные комплексные числа, ) функции определяются соотношениями .
26). Вычислить а) ; б) ; 27). Решить уравнение .
28). Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел
а) z = , б) z = , в) , г) .
29). Вычислить а) Ln(4); б) Ln(-1); в) ; г) .
30). Вычислить а) ; б) sin2i; в) cos(2 + i); г) tg(2-i); д) cth(2+i); е) th(ln3 +π/4).
31). Вычислить а) б) в) 39) г) .