Сборник упражнений по высшей математике
IY семестр
АУТП, ЭСЭ
Iy семестр
Тема 1:Теория функции комплексной переменной ( тфкп)
Литература:
Королева Н. Н. «Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления»
Письменный Д. «Лекции по высшей математике», т 2
Комплексные числа (повторение)
Определение 1 Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy,
где i - мнимая единица, и i2 = -1.
x = Re z – действительная часть числа z
y = Im z – мнимая часть числа z
Различные формы записи комплексных чисел
1) Алгебраическая форма z = x + iy
2) Тригонометрическая форма
Действительное
число r
=
называется модулем
комплексного числа
z = x + iy. Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z;
Угол
называется аргументом комплексного
числа z
и обозначается
:
,
где φ
= argz -главное
значение аргумента комплексного числа;
3) Показательная форма комплексного числа
- уравнение
окружности радиуса R
с центром в точке z0.
Задания
1). Найдите действительную часть комплексного числа z = 4+2i; z = 6;
z = -7i;
;
Изобразите области
2).
Где расположены точки
,
для которых ;
;
;
;
?
3).
;
4).
;
5).
;
6).
;
Представить в тригонометрической и показательной формах число
7).
;
8).
;
9).
;
10).
;
11).
.
II. Функция комплексного переменного
Определение: Комплексная переменная величина W называется функцией комплексной величины Z , если каждому значению, которое может принимать величина Z, соответствует определенное комплексное числовое значение W = u + iv , те w = f(z).
Различают однозначные функции и многозначные
Определение:
Если каждому z
D соответствует одно значение w,
то функция w = f(z) называется однозначной.
Если каждому z
D соответствует несколько значений w,
то функция w = f(z) называется многозначной.
Необходимым и
достаточным
условием дифференцируемости функции
в точке
являются непрерывность в этой точке
частных производных 1-го порядка функций
и
по обеим переменным и выполнение равенств
,
Определение: Функция w = f(x), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической в этой области
12).
Найдите множество точек непрерывности
функции
13).
Найдите точки разрыва функции
.
Исследовать на аналитичность
14).
;
15).
;
16).
;
17).
;
18).
19).
;
20).
.
Найти аналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части
21).
22).
23). а)
б)
и
24).
25).
III. Элементарные функции комплексного переменного
III.1.
Степенная
функция:
,
где
.
а)
натуральное
число, тогда
.
б)
,
где
,
где
Функция многозначная ( q – значная) Однозначная ветвь этой функции получается, если придать к определенное значение
в)
,
где
несократимая
дробь.
,
где
III.2. Показательная функция:
,
где
определяется равенством
III.3. Логарифмическая функциия:
Lnz
= ln
;
III.4. Тригонометрические функции:
,
,
III.5. Гиперболические функции:
,
,
,
.
;
- формулы связи между тригонометрическими
и гиперболическими функциями
III.6.
Обобщенная показательная функция w
=
и обобщенная степенная w
=
(а,
z
- произвольные комплексные числа,
)
функции определяются соотношениями
.
26).
Вычислить а)
;
б)
;
27). Решить
уравнение
.
28). Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел
а)
z =
,
б)
z =
,
в)
,
г)
.
29). Вычислить
а)
Ln(4);
б)
Ln(-1);
в)
;
г)
.
30).
Вычислить
а)
;
б)
sin2i; в)
cos(2 + i); г)
tg(2-i);
д)
cth(2+i);
е)
th(ln3
+π/4).
31).
Вычислить а)
б)
в)
39)
г)
.