3. Вычислить пределы

3.1. 3.2 3.3. 3.4. 3.5.

Число А называется пределом функции y = f(x) при , если для любого числа , существует такое, что при выполняется неравенство .

3.1.

Функция – непрерывная, графиком ее является парабола. Следовательно, заменяя ее аргумент предельным значением, найдем значение предела:

.

Ответ: –8.

3.2.

При непосредственном нахождении предела и числитель и знаменатель обращаются в нуль, таким образом, получается неопределенность вида .

Чтобы раскрыть неопределенность , разложим числитель на множители:

,

Тогда

Ответ: 7.

3.3.

При непосредственно подстановкой имеем неопределенность вида .

Чтобы раскрыть неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной – . Тогда

Поскольку , то .

Ответ: 2.

3.4.

Найдем предел, используя первый замечательный предел

Таким образом: .

Замечание:

, так как если , то . Значит .

Ответ:

3.5.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, к виду , и используем второй замечательный предел

Если , то . Значит:

Ответ: .

4. Для данной функции: найти точки разрыва, скачок функции в каждой точке разрыва, сделать чертеж

Функция является непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Функция является непрерывной в точке, если .

Точки, в которых нарушается условие непрерывности называются точками разрыва.

Если односторонние пределы в точке конечны, то она является точкой разрыва 1 рода. Если односторонние пределы в точке равны, то она является точкой устранимого разрыва.

Точками подозрительными на разрыв являются х=-2, х=2.

х=-2

Оба односторонних предела – конечны, не равны. Значит, х=2 – точка разрыва 1 рода. Скачок функции Δ= |2-0|=2.

х=2

Так как один из односторонних пределов бесконечен, значит х=2– точка разрыва 2 рода.

				9
				7
				5
				3
				1
- 3	-2	-1	0	1		3		5	х
				-1
				-3

Ответ: функция не является непрерывной на всём множестве.