11. Rok 2013 - międzynarodowym rokiem statystyki

(2013 International Year of Statistics – IYStat)

Międzynarodowy Instytut Statystyczny zaprosił międzynarodowe stowarzyszenia i organizacje na całym globie, aby rok 2013 obchodzić, jako Międzynarodowy Rok Statystyki.

Celem tego Międzynarodowego Roku jest promocja znaczenia statystyki poprzez połączoną energię stowarzyszeń i organizacji światowych wśród:

• szerszej społeczności naukowej,

• użytkowników danych gospodarczych i rządowych,

• mediów,

• decydentów,

• pracodawców,

• zatrudnionych,

• studentów oraz

• ogółu społeczeństwa.

Cele Międzynarodowego Roku Statystyki zawierają:

• zwiększenie publicznej świadomości siły i wpływu statystyki na wszystkie aspekty życia społecznego,

• wzmocnienia statystyki jako zawodu, specjalnie wśród młodych ludzi, oraz

• promowanie kreatywności i rozwoju w naukach prawdopodobieństwa i statystyki.

 Warto zauważyć, że w roku 2013 będziemy obchodzili 300-tą rocznicę publikacji Ars Conjectandi (Sztuka przewidywania) napisanej przez Jakuba Bernoulli, która uważana jest jako fundamentalna praca w rachunku prawdopodobieństwa, a także 250-tą rocznicę pierwszej publicznej prezentacji słynnej pracy Thomasa Bayes.

12. Wprawdzie model Poissona jest bardziej zbliżony do zjawisk rzeczywistych niż model Bernoulliego, to jednak dotyczy on tylko częstotliwości względnej. Jest to poważne ograniczenie, gdyż w praktyce spotykamy się z bardziej złożoną zmiennością cech, które mogą przyjmować wiele różnych wartości. Na przykład wydatki gospodarstwa domowego, plony zbóż z hektara, produkcja w przedsię­biorstwach itd., mogą w ciągu określonego okresu przyjąć różne wartości. Powstaje pytanie, czy prawo wielkich liczb rozciąga się również na przeciętne i inne charakterystyki zbiorowości. Zagadnie­nie to rozwiązał wielki matematyk rosyjski P.L. Czebyszew (1821-1894).

Tutaj podamy bardziej ogólne twierdzenie, które odnosi się zarówno do zmiennych losowych ciągłych i dyskretnych, a w rachunku prawdopodobieństwa znane jest jako

Słabe prawo wielkich liczb

[znane jest także jako twierdzenie Bernoulliego].

Niech X₁, X₂, …, X_n będzie ciągiem niezależnych i posiadających jednakowe rozkłady zmiennych losowych, o jednakowych średnich i odchyleniach standardowych, tj. E{X_i} = μ i D{X_i} =σ (dla i=1, 2, …n). Wtedy dla każdego ε>0 i 0< η<1 zachodzi

,

gdy n jest dostatecznie duże.

W praktyce mamy populację składającą się z N jednostek, w której chcemy obserwować np. zmienną (cechę) X. Chcemy obliczyć średnią dla wartości tej cechy z populacji, której nie znamy, ale oznaczymy tu jej wartość przez μ. Z powyższego twierdzenia wynika, że gdy wybierzemy ciąg jednostek x₁, x₂, …, x_n z populacji w sposób niezależny, tj. przy pomocy tablicy liczb losowych lub generatora liczb losowych z komputera, wtedy średnia z próbki

( ) będzie się różniła od średniej z całej populacji, tj. μ , co do bezwzględnej wartości, nie więcej niż ε, z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim jedności, gdy n jest dostatecznie duże. Prawo to wyjaśnia, dlaczego próbka musi być wybrana w sposób losowy.

Tak, więc przy dostatecznie dużym n, możemy uczynić dowolnie bliskim jedności prawdopodobieństwo zdarzenia

.

13. Prawdopodobieństwo to w statystyce matematycznej nazywamy, jak robaczymy dalej, poziomem ufności wnioskowania o parametrach z populacji na podstawie wyników uzyskanych z próbki, a wielkość e żądaną precyzją oceny przy danej liczebności próbki. Podane twierdzenia prawa wielkich liczb charakteryzują główną ideę metody reprezentacyjnej, której głównym celem jest wnioskowanie o różnych charakterystykach populacji generalnej na podstawie wyników uzyskanych z określoną precyzją od części tej zbiorowości zwanej próbką.

14. Ze względu na uogólniający charakter twierdzenia Czebyszewa często utożsamia się je z prawem wielkich liczb, ponieważ dla statystyki duże znaczenie ma określenie różnicy między charakterys­tykami zbiorowości próbnej i generalnej, jak to ma miejsce w badaniach reprezentacyjnych, a także w innych problemach statysty­cznych.

15. Należy zauważyć, że prawo wielkich liczb zachodzi nie tylko dla częstości względnych i średnich, ale także dla innych charakte­rystyk zbiorowości co ma szczególnie znaczenie dla metody reprezen­tacyjnej. Oznacza to, że prawdopodobieństwem dowolnie bliskim jedności można wnioskować, że różnice co do wartości bezwzględnej między charakterystyką dla całej zbiorowości a charakterystyką dla próbki nie różnią się więcej niż, gdy n jest dostatecznie duże, przy określonych warunkach.

16. Prawo wielkich liczb nie daje gwarancji, że przy poszczegól­nych szacunkach błąd nie wypadnie większy niż przyjęta dowolna liczba. Stwierdza tylko, że przypadek taki staje się tym mniej prawdopodobny, im większa jest liczba obserwacji. Tak na przykład gdy szacujemy średnie wydatki gospodarstwa domowego na określony artykuł na podstawie próbki wylosowanej ze zbiorowości generalnej gospodarstw domowych w Polsce to jest rzeczą możliwą, że wylosujemy przypadkowo same gospodarstwa o niskich wydatkach i że w skutek tego szacunek średnich wydatków odbiegnie daleko od wartości rzeczywistej. Prawo wielkich liczb twierdzi jednak, że im większa liczba obserwacji, tym mniejsze jest prawdopodobieństwo otrzymania takiego rezultatu.

17. Należy dodać, że podstawą stosowania prawa wielkich liczb w praktyce statystycznej jest pewna reguła postępowania praktycznego, którą określamy mianem

zasady praktycznej pewności.

Zasada ta opiera się na empirycznym stwierdzeniu, że zdarzenia losowe, których prawdopodobieństwo jest bardzo małe, zachodzą bardzo rzadko. Jeśli prawdopodobieństwo pewnego zjawiska losowego jest tak małe, że zachodzi ono niezmiernie rzadko, to w praktyce można nie liczyć się z możliwością zajścia takiego zjawiska. Wówczas powiadamy, że istnieje praktyczna pewność, że zjawisko nie zajdzie. Na podstawie zasady praktycznej pewności oczekujemy, że błąd szacunku podlegającemu prawu wielkich liczb jest niewielki, jeśli liczba obserwacji jest dostatecznie duża.

18. Zasada praktycznej pewności, jako podstawa stosowania w praktyce prawa wielkich liczb, dopuszcza wyjątki, wprawdzie niezmiernie rzadkie, ale możliwe. Mogą więc zajść zdarzenia losowe, co do których istnieje praktyczna pewność, że nie zachodzą. Dlatego powstałe zagadnienie dokładniej­szej analizy częstości możliwych wyjątków. Problemami tymi zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa, jednakże zagadnień tych nie będziemy omawiali ze względu na pewne trudności natury matematycz­nej.

19. Z przeprowadzonych rozważań wynika, że prawo wielkich liczb stanowi podstawę metody reprezentacyjnej, gdyż pozwala uzasadnić teoretycznie możliwość wnioskowania, przy określonych warunkach o zbiorowości generalnej na podstawie wyników uzyskanych z próbki wylosowanej z tej zbiorowości. Prawo to w ogólny sposób określa także możliwość, jednakże pozostaje jeszcze szereg problemów występujących w metodzie reprezentacyjnej, takich jak określenie potrzebnej liczebności próbki, ocena wielkości błędu przy szacowa­niu parametrów, wyznaczenie poziomu ufności itd., które należy rozwiązać. Szczególnie pomocne okaże się tu centralne twierdzenie graniczne, którego znaczenie w metodzie reprezentacyjnej rozważymy niżej.