Wyższa Szkoła Menedżerska

WSM-sl. 2.doc Podstawy analiz statystycznych - prawo wielkich liczb, rozkłady Prof. J. Kordos

Prawo wielkich liczb centralne twierdzenie graniczne

1. Zrozumienie istoty podstaw analiz statystycznych wymaga zapoznania się z niektórymi osiągnięciami rachunku prawdopodobieństwa. Niezbędne są takie podstawowe pojęcia jak zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego, zmienna losowa, jej rozkład i podstawowe parametry, które zostały już wprowadzone. Wykorzystamy je przy prezentowaniu niezbędnych wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa.

2. Szczególnie ważne są tu twierdzenia określane wspólnym mianem prawa wielkich liczb oraz twierdzenia graniczne, wśród których należy przede wszystkim wyróżnić twierdzenie zwane centralnym twierdzeniem granicznym.

3. Trzeba stwierdzić, że problematyka tych twierdzeń jest bardzo rozległa, a jej wszechstronne naświetlenie wymagałaby użycia znacznie bogatszego aparatu matematycznego od założonego w tym wykładzie. Ograniczymy się, więc do podania istoty tych twierdzeń, które mają szczególnie ważne znaczenie w analizach statystycznych.

4. W pierwszej kolejności omówimy prawo wielkich liczb i jego znaczenie dla metody reprezentacyjnej i analiz statystycznych, zachowując pewną chronologię osiągnięć w tej dziedzinie.

5. Najprostszą postacią prawa wielkich liczb jest twierdzenie J. Bernoulliego, które zostało po raz pierwszy opublikowane w roku 1713 w jego pracy pt. "De Arte Coniectandi Tractatus" (Traktat o sztuce przewidywania). Prawo to dało matematyczną interpretację dobrze z doświadczenia znanego faktu, że zdarzenia losowe, występujące masowo, wykazują pewne prawidłowości.

Twierdzenie Bernoulliego można sformułować w następujący sposób:

jeśli prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego A w następstwie niezależnych prób jest stałe i równe p w każdej próbie, to dla każdej dowolnie małej liczby dodatniej e, można twierdzić z prawdopodobieństwem dowolnie zbliżonym do jedności, że różnica , co do bezwzględnej wartości, okaże się mniejsza niż ε.

Twierdzenie to krócej można wyrazić przy pomocy następującego zapisu:

przy dostatecznie wielkich n

gdzie: - e i h dowolnie małe liczby dodatnie.

6. Z twierdzenia udowodnionego przez Bernoulliego wynika, że prawdopodobieństwo tego, iż częstość zdarzenia losowego A będzie wykazywała wahania mniejsze, co do bezwzględnej wartości od dowolnej małej liczby dodatniej, dąży do jedności, gdy liczba doświadczeń n wzrasta nieograniczenie. Wynika stąd także, że jeśli możemy twierdzić, że wahania częstości zdarzenia losowego A wraz ze wzrostem liczby doświadczeń maleje do zera, to oznacza to, iż częstości te, gdy n rośnie, skupiają się coraz bardziej wokół pewnej stałej liczby. Ta stała liczba jest właśnie prawdopodobień­stwem zdarzenia losowego A.

7. Z analizy tego twierdzenia wynika, że istnieje możliwość oceny częstości względnej p odnoszącej się do całej zbiorowości general­nej z określonym stopniem dokładności na podstawie wyników uzyskanych tylko od części tej zbiorowości, tj. liczącej n jednostek. Pozostaje tylko do określenia stopień dokładności szacunku, wielkość prawdopodobieństwa, tj. określić ufność naszego wnioskowania oraz ustalić minimalną liczebność próbki n. Z takimi właśnie problemami spotykamy się w metodzie reprezentacyj­nej, a więc dopuszczamy przy stosunku pewien błąd, którego rozmiary możemy dowolnie regulować, zmieniając odpowiednio liczebność próbki n.

8. Jakkolwiek twierdzenie Bernoulliego jest bardzo ważne dla metody reprezentacyjnej, gdyż po raz pierwszy wskazało ideę wnioskowania o całej populacji na podstawie wyników uzyskanych tylko od części tej zbiorowości liczącej n jednostek, to jednak odnosi się ono do bardzo prostego modelu, w którym możliwe są tylko dwa rodzaje wyników: pojawienie się lub nie pojawienie oczekiwanego zdarzenia, a prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest stałe.

9. W rzeczywistości mamy do czynienia z przypadkami o wiele bardziej skomplikowanymi. W badaniu statystycznym chcemy oszacować nie tylko części względne, ale także inne charakterystyki zbiorowości, takie jak przeciętne, odchylenia standardowe, współczynniki korelacji itd. Próbowano, więc rozwijać dalej ideę Bernoulliego, rozważając modele bardziej skomplikowane i lepiej odzwierciedlające rzeczywis­tość.

10. Od opublikowania twierdzenia Bernoulliego minie w 2013 r. 300 lat, a nauka w tym czasie osiągnęła w tej dziedzinie ogromne sukcesy, dzięki wysiłkom szeregu wybitnych matematyków i statysty­ków, które zostały wykorzystane w metodzie reprezentacyjnej. Warto tu wymienić przede wszystkim pracę znakomitego francuskiego matematyka S.D. Poissona (1781-1840), który uogólnił twierdzenie Bernoulliego oraz po raz pierwszy wprowadził termin "prawo wielkich liczb". Dowiódł on, że twierdzenie Bernoulliego zachowuje słuszność również w tym przypadku, kiedy prawdopodobieństwo p zmienia się w toku doświadczeń niezależnie od wyników doświadczeń poprzednich.