Wyższa Szkoła Menedżerska

WSM-wyk_3_.doc Podstawy analiz statystycznych - charakterystyki opisowe Prof. J. Kordos

Charakterystyki opisowe

Na poprzednim wykładzie rozważaliśmy ogólnie rozkład populacji według wielkości badanej cechy X. Rozróżniliśmy cechy zmienne mierzalne (skokowe i ciągłe) oraz niemierzalne. Tutaj chodzi nam o bardziej syntetyczne scharakteryzowanie populacji, polegające na obliczeniu pewnych charakterystyk opisowych. Rozważymy miary położenia, zróżnicowania, asymetrii, kurtozy oraz koncentracji.

Będziemy rozważali indywidualne dane statystyczne oraz dane już pogrupowane.

Rozpoczniemy od miar położenia.

Podstawową grupę parametrów stanowią tzw. wielkości średnie.

Wielkości średnie

Wielkości średnie są więc pewnymi charakterystykami liczbowymi, które służą do pomiaru ogólnego poziomu cechy w badanej populacji.

Rozważymy tu ogólnie następujące wielkości średnie:

1. Średnia arytmetyczna

2. Średnia geometryczna

3. Średnia harmoniczna

4. Moda

5. Mediana i kwartyle

Omówimy tylko te charakterystyki, które mają szersze zastosowania w praktyce, tj. średnią arytmetyczną, modę, medianę i kwartyle.

1. Średnia arytmetyczna

 Najbardziej popularną i będącą w powszechnym użyciu wielkością średnią jest średnia arytmetyczna.

 Średnia arytmetyczna jest sumą wartości cechy (zmiennej) poszczególnych jednostek populacji, podzieloną przez ich ilość.

 Jeśli w badanej próbie o liczebności n zmienna X przyjmuje wartości x₁, x₂, ..., x_n, to ich średnią arytmetyczną można obliczyć z następującego wzoru:

(1)

średnia ta nosi nazwę średniej arytmetycznej nieważonej.

Gdy natomiast poszczególne wartości cechy występują wielokrotnie u poszczególnych elementów populacji, wtedy wzór (1) możemy zmodyfikować. Jeśli zatem cecha X występuje w z wariantach: x₁, x₂, ..., x_z, a liczba elementów przyjmujących kolejne wartości cechy jest odpowiednio n₁, n₂, ..., n_z, gdzie .

Wtedy średnią arytmetyczną można obliczyć z następującego wzoru:

(2)

Oznaczmy dalej , gdzie w₁, w₂, ..., w_z, są wagami grupowymi, to wtedy

Średnią arytmetyczną ważoną można wyrazić za pomocą następującego wzoru:

(3)

Powstaje pytanie jak obliczyć średnią arytmetyczną gdy operujemy szeregiem rozdzielczym, w którym elementy populacji pogrupowane są w przedziały.

Takie dane często publikowane są w różnych publikacjach.

Rozważmy następujący przykład:

Miesięczne płace pracowników przedsiębiorstwa zostały pogrupowane według 10-ciu grup płacowych (z = 10) oraz dla każdej grupy płacowej obliczono odpowiadającą jej płacę x_i oraz wagę w_i.

W tym przypadku średnia arytmetyczna może być obliczona tylko z pewnym przybliżeniem, gdyż nie posiadamy pełnych informacji dla dokładnego ich wyliczenia. Przyjmujemy w takich sytuacjach, że wszystkie jednostki z określonego przedziału przyjmują jedną i tą samą wartość odpowiadającą środkowi danego przedziału.

Wartości te oznaczamy przez x_i, a odpowiadające im wagi przez w_i.

Nr grupy i	Grupy płacowe	Płaca w grupie i xi	Liczba pracowników ni	Wag wi
1	400 -600	500	67	0,042
2	601-800	700	109	0,067
3	801-1000	900	166	0,103
4	1001-1200	1100	180	0,112
5	1201-1400	1300	253	0,157
6	1401-1600	1500	291	0,181
7	1601-1800	1700	184	0,114
8	1801-2000	1900	157	0,098
9	20001-2200	2100	120	0,075
10	2201 -2400	2300	82	0,051
Ogółem	x	x	1609	1,000

Wtedy średnia ważona płac w przedsiębiorstwie wynosi zł.