Лабораторна робота № 3 Декомпозиція лінійних систем

Мета роботи: навчитись здійснювати декомпозицію лінійних динамічних систем n-порядку на типові ланки.Навчитись будувати фазовий портрет лінійної динамічної системи

Короткі теоретичні відомості

Будь-яку ЛДС можна подати у вигляді сукупності таких типових структурних ланок:

• аперіодичної;

• коливної;

• інтегрувальної;

• диференціальної;

• консервативної;

• ланки з запізненням;

Кожну з типових ланок достатньо повно характеризують форма диференційних рівнянь, від передатної і перехідної функцій.

Типовою ланкою називають ланку, описану інтегро-диференційними рівняннями не вище другого порядку. На рис. 3.1 зображено декомпозицію системи 6-го порядку на типові ланки.

6^го

Х_вх

Х_вих

2^го

2^го

2^го

Х_вих

Х_вх

Рис. 3.1

ЛДС в загальному випадку описують диференційними рівняннями n-порядку:

T₀,…T_n,k₀…k_m – параметри налаштування системи.

Передатною функцією називають відношення перетвореної за Лапласом вихідної дії за нульових умов і відсутності збурень.

Нульові початкові умови означають не тільки рівність f(t) = 0 при t=0, але й нульові умови у всіх похідних до (n-1) включено, де т – порядок системи.

зображення рівняння руху системи у лапласівській формі, де

З іншого боку, p = jω, де ω = 2πf – кутова частота, а j = (-1)^-1

Часто буває так, що реальну систему(чи модель системи) зображають сукупністю зв’ язаних собою передатних функцій, які утворюють складну структурну схему.

Під час аналізу виникає потреба знаходження результуючої передатньої функції, тобто спрощення структурної схеми.

П

X_вх

X_вих

X₁

X_вх

X_вих

ослідовне з'єднання :

W₁

W₂

W₁W₂

Паралельне з’єднання :

W₁

Х_вх

Х_вих

Х_вх

Х_вих

W₁W₂

W₂

Зворотній зв’язок :

X_вх

W₁

W₂

X_вх

X_вих

Приклад виконання лабораторної роботи

Нехай задана передатна функція :

При знаходженні нулів і полюсів функції виявилося, що система має один дійсний і два комплексні корені:

w=tf([10],[1 3 5 7]);

pole(w)

ans =

-2.1795

-0.4102 + 1.7445i

-0.4102 - 1.7445i

Тому систему можна декомпонувати лише на дві типові ланки. Схема побудови декомпонованої системи :

Перша -

Друга -

Рис.3.2 Результат імітаційного моделювання

Хід роботи

1.Ознайомитися з теоретичними відомостями по темі лабораторної роботи.

2.Дослідити фазовий генератор ЛДС за даними варіантами :

№ Варіанту	Параметри системи
	T33	T22	T1	T0	R0
1	1	1	3	1	1
2	1	2	4	1	2
3	1	3	4	2	5
4	1	2	5	5	10
5	1	4	4	5	20
6	1	3	5	2	2
7	1	2	4	1	5
8	1	5	2	1	1
9	1	5	3	1	10
10	1	5	4	1	0.5
11	1	5	5	1	2
12	1	5	1	4	10
13	1	6	2	1	5
14	1	2	6	1	1
15	1	1	5	1	10

3.Зробити висновки.

4.Оформити звіт.

Рекомендована літератури

1. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. –М. : Мир, 1978. – 834 с.

2. Артюшин Л.М. та ін. Теорія автоматичного керування. Навч. Посіб. – Львів: видавництво УАД, 2004. – 272 с.

3. Чаки Ф. Современная теория управления. – М.: Мир, 1975. – 424 с.

Лабораторна робота № 4

Побудова годографа Михайлова в середовищі matlab

Мета роботи: набути практичних навиків, необхідних при дослідженні динамічних процесів, а також закріпити теоретичні знання про частотні критерії стійкості.

Короткі теоретичні відомості:

Частотні критерії базуються на властивостях частотних характеристик стійких систем. Велику роль в розвитку теорії стійкості відіграв частотний критерій стійкості, запропонований в 1936 році, Михайловим. Так як і алгебраїчні критерії, частотні критерії випливають з безумовної умови наявності тільки «лівих» коренів в характеристичному рівнянні стійкої лінійної динамічної системи. Розглянемо його практичне застосування для аналізу стійкості. Для цього запишемо характеристичне рівняння у виді:

a₀pⁿ+a₁p^n-1+… + a_n-1p+a_n=D(p)

Замінивши в рівнянні p=jω і відділивши дійсну частину від уявної, поліном D(p) приведемо до виду:

D(jω)=a(ω) + b(jω),

Де a(ω) – дійсна частина – сума всіх членів, які включають j в парних степенях; b – уявна частина виразу.

У відповідності з критерієм Михайлова умова стійкості:

Δarg D(jω) = n , 0<ω<∞

Геометричне місце точок кінця вектора D(jω) при зміні частоти в діапазоні 0<ω<∞ називається годографом вектора, або годографом Михайлова. Критерій Михайлова формулюється наступним чином: динамічна система, що описується лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку, стійка якщо при зміні ω від 0 до ∞ годограф вектора D(jω) послідовно проходить в додатному напрямку (проти годинникової стрілки) n квадрантів комплексної площини і не перетворюється в 0. На рис.4.1 приведені приклади годографів стійких і нестійких систем.

Рис.4.1 Годографи систем: а – стійких, б- нестійких

Розглянемо приклад побудови годографа в середовищі Matlab.

MATLAB — це назва продукту для числового аналізу та також мова програмування. Це досить простий засіб для роботи з математичними матрицями, малювання функцій, роботи з алгоритмами, створення робочих оболонок (user interfaces) з програмами в інших мовах програмування.

Для побудови годографа Михайлова створимо відповідну програму в середовищі Matlab:

k = 5;  a0 = 10;  a1 = 10;  a2 = 7;  a3 = 3; 

a4 = 1; 

for w=0.01:0.001:5,      Myh= a4*((w*i)^5) + a3*((w*i)^4) + a2*((w*i)^3) + a1 * ((w*i)^2) + a0*(w*i) + k;      Re = real(Myh);      Im = imag(Myh);      plot(Re, Im)      hold on  end  hold off  grid on  axis([-30 40 -30 30])