Параметры Вейсса и индексы Миллера

Серию отношений рациональных чисел т:п:р для всех параллельных плоскостей можно представить как отношение целых взаимно простых чисел p : q : r так называемых параметров Вейсса. В приведенном примере 1/2 : 1/3 :   = 1 : 2/3 :   = 3/2 : 1 :   = 2 : 4/3 :   = ... = р : q : r = 3 : 2 :  .

В кристаллографии принято характеризовать плоскости (или нормали к ним) не параметрами, а так называемыми индексами Миллера. Индексы Миллера — это величины, обратные параметрам Вейсса, приведенные к целым числам. Если параметры плоскости р : q :  r, то индексы Миллера определяются из соотношения

(3.1)

В приведенном примере (см. рис. 9) имеем .

Числа h, k, l называются индексами плоскости; индексы, написанные подряд и заключенные в круглые скобки. ‑ (hkl) называют символом плоскости: в нашем примере это (230).

Символом (hкl) характеризуется вся совокупность параллельных плоскостей. Этот символ означает, что система параллельных плоскостей рассекает отрезок а на h частей b на k частей и с на l частей, т. е. отсекает на осях координат отрезки а/h, b/к, c /l. Значит, чтобы построить плоскость (hkl), надо нанести на осях координат эти отрезки и провести через них плоскость. В общем, виде уравнение плоскости (hк1) и всего семейства параллельных ей плоскостей будет

hх+ку+1z=N, (3.2)

где N ‑ всегда целое число, h, к, l ‑ взаимно простые, целые числа. Для плоскости, проходящей через начало координат. N = 0; для плоскости, ближайшей к началу координат, N = 1.

Запишем уравнение плоскости АВС в параметрической форме: Ах + Ву + Сz = N

Или плоскости проходящей через начало координат Ах + Ву + Сz = 0, здесь х, у, z ‑ текущие координаты, которые можно выразить через параметры кристалла а, b, с как х =ma, у = nb, z=pc, где m, п, р ‑ целые числа.

Подставим в это уравнение координаты двух любых точек, лежащих в плоскости:

Am₁a+Bn₁b+Cp₁c=0,

Am₂a+Bn₂b+Cp₂c=0,

и возьмем отношение

Определители, составленные из целых чисел, должны быть целыми числами, значит Aa=hN, Bb=kN, Cc=lN, где h, k, l ‑ целые, взаимно простые числа, N ‑ общий множитель. Величины h, k, l обратно пропорциональны длинам отрезков, отсекаемых этой плоскостью на осях координат. Таким образом, в общем виде, уравнение плоскости можно записать как формулу (2).

Примеры: Определения символов плоскостей и направлений.

1. Найти символ плоскости. Отсекающей на осях координат отрезки 4а, 3b, 2с.

Запишем отношение т : n : p = 4 : 3 : 2; отсюда

Значит, символ плоскости (hkl) = (346).

2. Найти символ плоскости, параллельной осям X и Z и отсекающей три единицы на оси Y.

Имеем отсюда

Значит, (hkl) = (010).

3. Определить символ направления, проходящего через начало координат O и точку с координатами (a/8, 3b/8, 5c/8)

Найдем целочисленные значения отношений координат:

Это соответствует переносу заданной точки вдоль заданного направление в ближайший началу координат узел кристаллической решетки с координатами (1, 3, 5). Значит, символ заданного направления [135].

4. Определить символ направлении, проходящего через точки А (0, b/2, с/2) и В (a/2, 0. с/2).

Вычитая соответственно координаты одной точки из координат другой, что соответствует параллельному переносу вектора АВ в начало координат О. получаем новые координаты конца вектора (-а/2, b/2, 0). Таким образом, решение этой задачи сведено к предыдущей; заменим полученное Отношение целочисленным

Символ заданного направления [110].

Из последнего примера видно, что если плоскость параллельна оси координат, т. е. пересекается с этой осью в бесконечности, то индекс плоскости по этой оси будет 1/ = 0 (рис. 10).

Символы координатных плоскостей независимо от углов между осями всегда будут:

X

Рис. 10. Символы некоторых плоскостей в кубической ячейке

OY - (001), YOZ = (010), XOZ = (001)