Кристаллическая структура. Определение кристаллографических символов.

Цель работы

1) Знакомство с системой обозначения узлов, направлений, плоскостей кристаллической решетки - с индексами Миллера;

2) Определение индексов узлов, направлений, плоскостей кристаллической решётки;

3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.

Содержание кристаллическая структура. Определение кристаллографических символов. 1

1. Кристаллическая структура. Пространственная решётка 1

2. Системы трансляций (Решётки Бравэ) 4

3. Метод кристаллографического индицирования 5

4. Обратное пространство и обратная решётка 8

5. Основные формулы структурной кристаллографии 11

Теоретический материал

1. Кристаллическая структура. Пространственная решётка

Твердое состояние характеризуется минимальной свободной энергией и поэтому является равновесным при умеренных и низких температурах. Уравнение энергии связи в твёрдом теле, может быть записано в виде двухчленного выражения, в котором частные энергии соответствуют притяжению и отталкиванию частиц

Рис.1. а. рис.1.б

(рис. 1, а). На относительно больших расстояниях появляются силы притяжения F_п быстро увеличивающиеся с уменьшением расстояния r между частицами (кривая 1); на малых расстояниях возникают силы отталкивания F_от, которые с уменьшением r увеличиваются значительно быстрее, чем F_п (кривая 2). На расстоянии r = r₀ силы отталкивания уравновешивают силы притяжения и результирующая сила взаимодействия F обращается в нуль (кривая 3), а энергия взаимодействия достигает минимального значения U_c (рис. 1, б). Поэтому состояние частиц, сближенных на расстояние r₀ является состоянием устойчивого равновесия, вследствие чего частицы, предоставленные самим себе, должны выстраиваться в строгом порядке на расстоянии r₀ друг от друга, образуя тело с правильной внутренней структурой - кристалл. Такая структура будет сохраняться до тех пор, пока энергия связи остается выше по абсолютному значению энергии теплового движения частиц. Частицы кристалла не могут свободно покидать свои положения равновесия, так как при удалении от этих положений энергия частиц увеличивается, и появляются силы, стремящиеся вернуть их в положения равновесия. Частицы как бы закреплены в положениях равновесия. Единственной доступной формой движения для них является колебания около положений равновесия.

Расстояния между частицами в большинстве кристаллических веществ составляют несколько десятых долей нанометра, поэтому даже на длине в 1 мм в кристалле располагается - 10⁷ частиц, что практически можно считать бесконечным числом.

К

Рис. 2. Бесконечный ряд с трансляцией а.

ратчайшее из возможных расстояний между одинаковыми точками в ряду называется элементарной (кратчайшей) трансляцией или периодом идентичности (рис. 2); иногда употребляют названия период трансляции или параметр ряда.

Если сдвинуть точки бесконечного ряда на один период идентичности вдоль направления трансляции, то все одинаковые точки передвинутся на одинаковые расстояния, ряд совместится сам с собой, так что вид его не нарушится. Симметричное преобразование, с помощью которого точка повторяется в пространстве, называется преобразованием с помощью трансляции или просто трансляцией. Характеристикой этого ряда является кратчайшая трансляция а. Одинаковые точки, связанные между собой трансляциями а в бесконечном ряду, называются узлами ряда.

Повторяя одинаковые точки с помощью другой трансляции, не параллельной первой, получим двумерную плоскую сетку, которая полностью определена двумя элементарными трансляциями а и b или тремя произвольными узлами, не лежащими на одной прямой. Параллелограммы, вершины которых являются узлами, называются ячейками сетки. Плоскую сетку можно определить любой парой основных трансляций, не лежащих на одной прямой (рис. 3, а). Выбор такой пары основных параметров плоской сетки не однозначен, но принято выбирать элементарные трансляции и именно те, которые лучше всего отражают симметрию сетки.

В

Рис. 3. Плоская сетка: а) различные основные трансляции; б) различные элементарные ячейки; в) примитивная элементарная ячейка, построенная на двух кратчайших трансляциях и хорошо отражающая симметрию сетки.

ыберем о плоской сетке элементарную ячейку; повторяя ее с помощью одинаковых трансляций, мы получим плоскую сетку, заполняющую всю плоскость без промежутков. Элементарную ячейку можно выбирать по-разному (рис. 3, б), но принято выбирать ее так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям:

1) наилучшим образом отражала симметрию сетки;

2; имела бы прямые углы, если это можно;

3) обладала бы наименьшей площадью.

Примитивной элементарной ячейкой называется ячейка, внутри которой нет узлов (рис. 3, в).