2. Системы трансляций (Решётки Бравэ)

Все многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов решеток, отличающихся формами элементарных ячеек и симметрией и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний. Эти решетки были названы решетками Бравэ. решётка Бравэ ‑ это группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве (рис. 6).

Рис. 6. Принятые в трёхмерном пространстве системы трансляций.

Для выбора ячейки Бравэ используют три условия:

1. симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, точнее, наиболее высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл. Ребра элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки;

2) элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных ребер

3) элементарная ячейка должна иметь минимальный объем.

Эти условия должны выполняться последовательно, т. е. при выборе ячейки первое условие важнее второго, а второе важнее третьего.

По характеру взаимного расположения основных трансляций или расположению узлов вес кристаллические решетки разбиваются, по Бравэ, на четыре типа: примитивные (Р), базоцентрированные (С, В или А)², объемно-центрированные (I). гранецентрированные (F). В примитивной Р-ячейке узлы решетки располагаются только по вершинам ячейки, а в сложных ячейках имеются еще узлы: в объемно-цеитрнроваиной I-ячейке ‑ один узел в центре ячейки, в гранецентрнрованной F-ячейке ‑ по одному узлу в центре каждой грани, в базоцентрированной С (А, В-ячейке ‑ по одному узлу в центрах пары параллельных граней. В гексагональной сингонии за примитивную элементарную ячейку принимают призму с ребром, параллельным оси 6, и основанием в форме ромба (a=b≠c, α=β=90⁰, γ=120⁰). Ячейка определяется двумя параметрами а и с. Поэтому пользуются гексагональной призмой, составленной из трех примитивных ячеек. Эта ячейка уже не примитивна. Для тригональной сингонии примитивной элементарной ячейкой, удовлетворяющей условиям Бравэ, является ромбоэдр (R), у которого α = β = γ ≠ 90⁰, a=b=c. Координатные ребра ромбоэдра образуют одинаковые косые углы с главной осью симметрии. Поэтому тригональную систему называют также ромбоэдрической.

3. Метод кристаллографического индицирования

Для описания кристаллических многогранников и структур применяется метод кристаллографического ннднцирования, удобный для всех кристаллографических систем координат независимо от того, прямоугольны они или косоугольны, одинаковые у них масштабные отрезки по осям или разные. Познакомимся с этим методом.

Символы узлов

Если один из узлов решетки выбрать за начало координат, то любой другой узел решетки определяется радиусом-вектором R=mа + nb + рc. где т, n, p ‑ три числа, которые называют индексами данного узла. Совокупность чисел т, n, p, записанная в двойных квадратных скобках [[mnp]] называется символом узла. Числа в символе пишутся подряд, без запятых, читаются порознь. Запятые ставятся лишь в тех (редчайших) случаях, когда индекс двузначен. Знак минус пишется над цифрой. Например, [[130]] читается «один, три, ноль», ‑ «ноль, минус два, три». На рис. 7.а показаны символы нескольких узлов в косоугольной плоской сетке (индекс по третьей оси равен нулю), а на рис. 7.б ‑ символы вершин, центров граней и центра элементарной ячейки, если одна из вершин ячейки принята за начало координат³.

Рис. 7. Символы узлов в плоской сетке

Символы рядов (ребер)

Ряд, или узловая прямая, а также ребро кристаллического многогранника характеризуются наклоном в выбранной системе координат. Если ряд не проходит через начало координат, мысленно сдвинем его параллельно самому себе так, чтобы он прошел через начало координат. Мы всегда имеем право на такой параллельный перенос, потому что все параллельные направления в кристалле равнозначны. Тогда направление ряда определится двумя точками: началом координат и любым узлом ряда. Символ этого узла принимают за символ ряда и пишут в квадратных скобках [тпр]. Очевидно, этот символ характеризует семейство параллельных рядов, а также и параллельные ребра кристаллического многогранника.

Грани кристалла, пересекающиеся по параллельным ребрам, образуют пояс, или зону, а общее направление этих ребер называется осью зоны. Символ [тпр] характеризует ось зоны. Символы некоторых направлений в плоской сетке показаны на рис. 8.а.

И

Рис. 8. Символы некоторых направлений в плоской сетке (а) и осей координат (б).

з рис. 7 и 8 следует, что, например, ряд [110] можно характеризовать и символом [220], [330] и т.п., но для определения символа ряда принято выбирать узел, ближайший к началу координат. Если индексы в символе ряда кратные, их можно сокращать на целое положительное число.

Оси координат ОХ, ОУ, 0Z имеют соответственно символы [100], [010], [001] (рис. 8.б). Здесь видно одно из основных преимуществ кристаллографической символики: символы осей координат не зависят от углов между осями координат и от осевых отрезков, они одинаковы в любой системе координат.

Символы плоскостей (граней)

Плоские сетки в пространственной решетке и соответствующие им грани кристаллического многогранника тоже характеризуются наклоном в заданной системе координат. Любая грань кристалла параллельна какой-либо плоской сетке, а значит, бесконечному числу параллельных ей плоских сеток.

Пусть некая плоскость решетки пересекает все три оси координат, отсекая на них отрезки та, пb, рс. Отношение чисел т : п : р характеризует наклон плоскости к осям координат. Таким же отношением определяется и ориентировка всего семейства параллельных ей плоскостей.

Так, для семейства плоскостей на рис. 9 имеем:

Номер плоскости	Отрезки по осям			m:n:p
	X	Y	Z
1 2 3 4	а/2 а 3а/2 2а	b/3 2b/3 b 4b/3		1/2 : 1/3 :  = 3 : 2 : 1 : 2/3 :  = 3 : 2 : 3/2 : 1 :  = 3 : 2 : 2 : 4/3 :  = 3 : 2 :

Рис. 9. К определению символов семейства параллельных плоскостей.