Основы механики разрушения
.pdf«МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского
Кафедра «Механика материалов и конструкций»
Махутов Н. А.
«Основы механики разрушения»
(краткий курс)
Москва 2007г.
В механике разрушения предполагается наличие в материалах несплошностей, имитирующих начальную или возникающую макродефектность. Причем, реальные дефекты (трещины статического и циклического происхождения, расслоения, скопления пор, сварочные дефекты, коррозионные дефекты и др.), имеющие в общем случае сложную форму (рис. 1а), представляются в механике разрушения в виде тонких полостей (щелей) с прямыми берегами, один из размеров которых (ширина) существенно меньше двух других (рис. 1б):
а) |
б) |
Рис. 1. Реальный дефект и его расчетная схема.
Основой решения задач в механике разрушения является анализ напряженного и деформированного состояния в окрестности вершины трещины.
Впервые такой анализ был выполнен Гриффитсом (1920 - 1922гг.), развит Мусхелишвили (1938-1964гг.), Ирвином (I957-I968гг), Райсом (1962-1968гг.),
Панасюком-Леоновым (1959-1964гг.), Дагдейлом(I962-I964гг.), Черепановым, Морозовым, Партоном (1962-1970гг.) и другими.
2
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ВЕРШИНЕ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОЙ СТАДИИ
Моделирование реальных трещин в телах осуществляется с помощью эллиптических надрезов или отверстий, гиперболических надрезов на основе решения задач теории упругости, а также бесконечно острыми щелями на основе функций комплексного переменного.
ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЩЕЛЬЮ
На основе решения задачи теории упругости для эллиптического отверстия в пластине, наибольшие напряжения в направлении номинальных напряжений σ возникают в вершине отверстия на большой полуоси (рис. 2).
σy max =σ ασ ,
где σ - номинальное напряжение,
ασ - теоретический коэффициент концентрации напряжений.
По теории упругости для эллипса:
ασ |
=1+ 2 |
l |
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
= |
|
+ 2 |
l |
|
y max |
σ 1 |
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
В случае круглого отверстия: l = ρ
3
Рис. 2. Распределение напряжений в пластине с эллиптическим отверстием а) – выше, б) – ниже
а) при ρ =const;
б) при ρ → 0.
Если сохранить постоянным размер отверстия l и уменьшать радиус ρ , то при ρ → 0 и σY max → 0 (рис.2б).
В отличие от обычных форм концентрации, рассматриваемых в теории упругости, в механике разрушения максимальные напряжения оказываются неопределенными по величине - бесконечно большими (сингулярная задача) и это делает неприменимым использование обычных критериев разрушения, общепринятых для сопротивления материалов (например, σэкв≤[σ]). Такое положение возникает в пределах упругих решений в силу
того, что радиус надреза ρ → 0 . Вместе с тем в реальных материалах радиусы закругления в вершинах дефектов зависят от технологии изготовления
4
и являются конечными величинами, соизмеримыми, с радиусами пор, размерами структурныхсоставляющихив пределе с межатомными расстояниями.
Точное решение задачи, о распределении напряжений на продолжении трещины (Мусхелишвили, Колосов) приводит к выражению:
|
σY max = σ |
|
x |
|
|
|
|
x2 |
−l 2 |
|
(3) |
||
|
|
|
|
|||
У вершины |
трещины |
x →l |
и |
по (3) |
σY |
также стремится к |
бесконечности σY |
→ ∞. |
x → ∞, |
|
|
|
|
Вдали от трещины |
σY |
→ σ , |
что |
соответствует краевым |
||
условиям.
Для бесконечно большого числа сочетаний длин и формы трещин, размеров тел и способов нагружения необходимо получать свои решения типа
(3). Обобщая полученные решения Ирвин (1957г.) показал, что характер
распределения напряжений |
σY |
в |
упругом теле у вершины трещины, |
независимо от ее размеров, |
ориентации и способа нагружения при r < 0.05 l |
||
одинаков и подчиняется закону: |
|
l |
|
|
σY |
~ |
|
|
|
|
r |
(4)
где: r = x −l - расстояние от вершины трещины.
Таким образом, для описания распределения σу необходимо знать
только коэффициент пропорциональности в выражении (4). По предложению Ирвина (4) записывается в форме:
σ |
y max |
= K |
(5) |
|
2πr |
||
|
|
|
|
|
|
|
K |
Коэффициент пропорциональности получился равным |
2π . |
||
5
Коэффициент K характеризует распределение напряжений у вершины трещины и является основным параметром напряженного состояния.
В силу фундаментальности уравнения (5) этому коэффициенту дано специальное название: коэффициент интенсивности напряжений. При
установленном распределении напряжений σу для заданного расстояния r на
основе (5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
K =σy |
2πr |
|
|
|
Коэффициент |
интенсивности напряжений K в |
отличие от |
теоретического |
|||
коэффициента |
концентрации |
напряжений |
имеет |
размерность |
||
[K ]= [σ][ r ]= МПа м |
кг |
|
|
|
||
мм32 |
|
|
|
|
||
Выражения (3) И (5) дают сопоставимые результаты для σY при малых значениях r (рис.3).
Поскольку уравнение (5) для больших значений r дает малые величины
σY , то оно может быть использовано только для определения местных напряжений непосредственно у вершины трещины.
Для конечных значений ρ, наоборот, точное решение (3) дает удовлетворительное описание распределения напряжений в области больших r. Этосовпадениеимеетместопри r > 0,25ρ.
Для тонких пластин с трещинами, когда при нагружении в областиукончика
трещины возникает плоское напряженное состояние, напряжения σ X и σY |
в этой |
зоне оказывается сопоставимыми по величине. |
Для |
радиусов ρконечной величины в точке А (рис. 2а), напряжения σх = 0.
С увеличением ρ напряжения, σх сначала возрастают, а затем убывают и описываются уравнением (5).
Формулы (3) и (5) дают совпадающие до 3% величины σY |
при |
r |
≤0,08. |
|
l |
||||
|
|
|
Для rl <0,08 приизвестныхr иσу наосновании (5) имеем:
6
K = σ y 
2πr
Уравнение (6) по известным из эксперимента или расчета σу и r позволяет определить основную величину К.
Рис.3. Сопоставление решений Мусхелишвили, Колосова (3) и Ирвина (5) в зоне перед кончиком трещины.
МЕТОД СЕЧЕНИЙ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ.
Рассмотрим плоскую задачу о трещине. Выделим часть тела воображаемым сечением таким образом, чтобы это сечение проходило через конец трещины (рис. 4).
Условие равновесия внешних и внутренних сил (по Е.М. Морозову) сводится к тому, что усилие, не передающиеся через линию трещины, компенсируется дополнительным усилием от концентрации напряжений у вершины трещины. При образовании трещины длиной 2l усилие, не передающееся через трещину, равно ρ = 2lσ , а возросшее напряжение у
r*
концов трещины создает дополнительное усилие, равное 2∫σydr .
0
7
Отсюда:
|
|
r |
* |
|
P = 2lσ = 2∫σydr |
(7) |
|||
|
|
0 |
|
|
Размер r находим из условия: |
|
|
|
|
σ |
y |
= K |
=σ |
(рис.4) |
|
2πr* |
|
||
|
|
|
||
Отсюда:
r* = |
1 |
|
K 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2π |
σ |
||
Подставляя в (7) σу и выполнив интегрирование, находим коэффициент интенсивности напряжений:
K =σ π l |
(8) |
который совпадает с его точным значением.
8
Рис. 4. Схема метода сечений
ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ВЕРШИНЕ ТРЕЩИНЫ
Деформированное состояние в вершине трещины при любых способах нагруженияможетбытьпредставленокаккомбинация(суперпозиция) деформаций трех основных типов I, П, III ( рис.5)
Рис.5. Основные виды деформации поверхности трещины
I - трещина нормального отрыва;
9
II - трещина поперечного (плоского) сдвига;
Ш - трещина продольного (антиплоского) сдвига.
Каждая из моделей характеризуется своей величиной К. Тогда для рассмотренного случая пластины (рис.2б).
σ = K
y max |
2πr |
(9) |
|
||
|
|
Эта формула справедлива для напряжений по оси Х
В соответствии с решениями задач для тел c трещинами в общем случае
напряженное состояние определяется тремя параметрами: |
расстоянием r |
от |
начала координат до рассматриваемой точки, углом θ |
и коэффициентом |
|
интенсивности напряжений КI, КII или КIII (рис 6).
σx, y, z = |
1 |
[f (KΙ, KΙΙ , KΙΙΙ ,θ)] |
|
2πr |
|
10