Министерство образования и науки Российской Федерации

МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Кафедра “Механика материалов и конструкций”

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по курсу “Основы физики прочности и механики разрушения”

Составители: Котов П.И. Агамиров Л.В.

Москва 2006

1

1. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ВЕРШИНЕ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОЙ СТАДИИ

Моделирование реальных трещин в телах осуществляется с помощью эллиптических надрезов или отверстий, гиперболических надрезов на основе решение задач теории упругости, а также бесконечно острыми щелями на основе функций комплексного переменного.

1.1. Пластины с эллиптической щелью.

На основе решения задачи теории упругости для эллиптического отверстия в пластине наибольшие напряжения в направлении номинальных напряжений σ возникают в вершине отверстия на большой полуоси (рис. 2)

σy max =σασ ,

упругости, в механике разрушения максимальные напряжения оказываются неопределенными по величине - бесконечно большими (сингулярная задача) и это делает неприменимым использование обычных критериев разрушения, общепринятых для сопротивления материалов (например σ1 ≤[σ];σЭКВ ≤[σ]). Такое положение возникает в

пределах упругих решений в силу того, что радиус надреза ρ → 0 . Вместе с тем в

реальных деталях радиусы закругления в вершинах дефектов зависят от технологии изготовления и являются конечными величинами, соизмеримыми с радиусами пор, размерами структурных составляющих и пределе с межатомными расстояниями.

Точное решение задачи о распределении напряжений в пластине на продолжении

3

У вершины трещины x →l и по (3) σ y также стремится к бесконечности

(σ y → ∞ ).

Вдали от трещины x → ∞,σ y →σ что соответствует краевым условиям.

Рис. 2. Распределение напряжений в пластине с эллиптическим отверстием:

а) при ρ =const;

б) при ρ → 0

Для бесконечно большого числа сочетаний длин и формы трещин, размеров тел и способов нагружения необходимо получать свои решения типа (3).

Обобщая полученные решения, Ирвин (1957 г.) показал, что характер распределения напряжений σ y в упругом теле у вершины трещины, независимо от ее

размеров, ориентации и способа нагружения при r<0,05l , одинаков и подчиняется закону

где: r=x-l - расстояние от вершины трещины.

Таким образом для описания распределения σ y необходимо знать только

коэффициент пропорциональности в выражении (4).

По предложению Ирвина (4) записывается в форме

Коэффициент пропорциональности получился равным K 2π .

Коэффициент K характеризует распределение напряжений у вершины трещины и является основный параметром напряженного состояния. В силу фундаментальности уравнения (5) этому коэффициенту дано специальное название: коэффициент

4

интенсивности напряжений. При установленном распределении напряжений σ y для заданного расстояния r на основе (5):

K =σ y 2πr.

Коэффициент интенсивности напряжений K в отличие от теоретического коэффициента концентрации напряжений имеет размерность

[K ]= [σ][ r ]= МПа м;кг/ мм3 / 2 .

Выражения (3) и (5) дают сопоставимые результаты для σ y при малых значениях

r (рис. 3).

Поскольку уравнение (5) для больших значений r дает меньшие величины σ y по

сравнению с точным решением (3), то оно может быть использовано только для определения местных напряжений непосредственно у вершины трещины.

Для конечных значений ρ , наоборот, точное, решение (3) дает

удовлетворительное описание распределения напряжений в области больших r .Это совпадение имеет место при r>0,25 ρ .

Для тонких пластин с трещинами, когда при нагружении в области у кончика

увеличением r напряжения σx сначала возрастают, а затем убывают и описываются уравнением (5).

Рис. З. Сопоставление решений Myсхелишвили,

Колосова (3) и Ирвина. (5) в зоне перед кончиком трещины

5

1.2. Метод сечений для приближенного расчета коэффициента интенсивности напряжений.

Одна из основных задач, стоящих перед механикой разрушения в связи с расчетом на прочность, состоит в определении коэффициента интенсивности напряжений.

Покажем возможностьпримененияизвестноговстроительноймеханикеметодасеченийдля еговычисления. Рассмотримплоскуюзадачуотрещине. Выделимчастьтелавоображаемымсечением такимобразом, чтобыэтосечениепроходилочерезконецтрещины(рис. 4).

Условие равновесия внешних и внутренних сил по Е. М. Морозову сводится к тому, что усилие, не передающееся через линию трещины, компенсируется дополнительным усилием от концентрации напряжений у вершины трещины.

При образовании трещины длиной 2l усилие, не передающееся через трещину, равно

r*

Ρ = 2lσ , авозросшеенапряжениеуконцовтрещинысоздаетдополнительноеусилие, равное 2∫σy dr.

который совпадает с его точным значением.

Рис. 4. Схема метода сечений.

6

1.3. Деформированное состояние в вершине трещины

Деформированное состояние в вершине трещина при любых способах нагружения может бытьпредставленокаксуперпозициядеформацийтрехосновныхтиповI, II, III (рис. 5).

Рис. 5. Основные виды деформации трещины: I - трещина нормального отрыва;

II - трещина поперечного (плоского) сдвига;

III - трещина продольного (антиплоского) сдвига

Каждая из моделей характеризуется своей величиной K . Тогда для рассмотренного случая пластины (рис. 2-б)

Эта формула справедлива для напряжений по оси X.

В соответствии с решениями задач для тел с трещинами в общем случав напряженное состояние определяется тремя параметрами: расстоянием r от

Рис. 6. Система координат и компоненты напряжений у кончика трещины

7

Для модели I при плоском напряженном состоянии

σ1 =σ y ;σ2 =σx ;σ3 =σz = 0.

Используя (II) и обобщенный закон Гука, можно установить деформации в вершине

трещины ex ,ey ,ez ,γxy ,γxz ,γ yz .

Из этого анализа следует, что напряжения σx ,σ y ,σz ,τxy ,τxz ,τyz пропорциональны отношению 1rnσ , а деформации ~ 1r ne , т.е.

где nσ = ne =1/ 2.

Если осуществить интегрирование деформаций ex ,ey ,ez в окрестности вершины

трещины по r, то можно получить перемещения U, V, W соответственно в направлении осей X, Y, Z.

8

Для модели I наибольшие перемещения возникают в направления оси Y, где действуют наибольшие σ и, как правило, под перемещением берегов трещины понимаются перемещения V на продолжении трещины (θ = 0; f (θ)=1). Тогда выражения для перемещения V приникают вид:

На основе (10-14) напряженное и деформированное состояние в вершине трещины полностью определяется коэффициентами интенсивности напряжений KI, КII

КIII. Для пластин бесконечных размеров при номинальных напряжениях σ (модель I) и

τ (модели II,III) величины коэффициентов интенсивностей напряжений на основе решения задач теории упругости равны:

Для других случаев нагружения, других размеров трещин и конечных размеров пластин в (15) вводятся поправочные функции соответственно fIK , fIIK , fIIIK .

Поправочные функции определяются на основе решения соответствующих задач или по экспериментальном данным.

Для пластин ограниченных размеров с симметричной центральной трещиной (рис. 7-а) поправочную функцию можно приближенно записать:

Рис. 7. Пластины с трещинами

9

Из анализа поведения поправочной функции fIK при изменении ширины пластины

(рис. 8) следует, что трещины одинаковых размеров в телах ограниченных размеров являются более опасными.

В общем случае нагружения при расчете напряжений используется принцип независимости действия сил

Аналогично определяются σ y ,σz ,τxy .

Рис. 8. Зависимость поправочной функции fIK от ширины пластины

10