Рис.6. Система координат и компоненты напряжений у кончика трещины.

Для модели I при плоском напряженном состоянии.

При плоской деформации, когда отсутствуют перемещения по оси Z, напряжения σZ имеют вид:

σ z = μ(σ x +σ y )

Для моделей II и III напряжения определяются по уравнениям типа (11) с заменой КI на КII или КIII и введением своих функций угла θ. Поскольку на продолжении трещины ( θ = 0 ) по уравнению (11) f(К)= I, то выражения для σ X и σY принимает вид:

При известных компонентах σ и τ могут быть определены главные напряжения в вершине трещины σ1, σ2, σ3. Для тонкой пластины при θ = 0

σ1 = σ y σ2 =σx σ3 =σz = 0

Используя (11) и обобщенный закон Гука можно установить деформации в вершине трещины ex , ey , ez ,γ xy ,γ yz ,γ zx .

11

Для модели I наибольшие перемещения возникают в направлении оси у,

где действуют наибольшие σ и, как правило, под перемещением берегов

На основе (10-14) напряженное и деформированное состояние в вершине трещины полностью определяется коэффициентами, интенсивности напряжений КI, КII, КIII. Для пластин бесконечных размеров при номинальных напряжениях

σ (модель I) и τ (модели II, III) величины коэффициентов интенсивностей напряжений на основе решения задач теории упругости равны:

12

Из анализа поведения поправочной функции ξIk при изменении ширины

пластины (рис.8) следует, что трещины одинаковых размеров в телах ограниченных размеров являются более опасными.

Рис.8. Зависимость поправочной функции fIK от ширины пластины

В общем случае нагружения при расчете напряжений используется принцип независимости действия сил:

Аналогично определяются σy,σz,τху.

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ

достигают больших величин при любых номинальных напряжениях, а пределы текучести σт конечны, то в вершине трещин возникают зоны пластических

деформаций, в которых происходит перераспределение напряжений.

Размер зоны пластических деформаций rт в тонкой пластине можно

определить в I-м приближении из условия σу=σт (Ирвин)(рис.9).

14

Отсюда

Однако, в связи с тем, что на участке rт передается меньшая сила, чем по

упругому решению (6), нарушаются интегральные условия равновесия. Это приводит к перераспределению напряжений и дополнительной перегрузке при

r > rт.

Ирвин предложил рассматривать не фактическую длину трещины ι, а

условную (фиктивную) длиной ιт=ι+rт, однако, в последующем были

15

KΙ = σ πlT

Тогда по Ирвину распределение напряжений в упругой области будет:

Уравнения (18) — (21) достаточно хорошо описывают распределение σ и

следовательно е для реальных пластин о фиктивной ιт при σ < 0,6σт.

Таким образом был осуществлен переход от упругого решения к упругопластическому.

Более точное решение для идеального упруго-пластического материала получено Леоновым, Панасюком–Дагдейлом (I960-1961). Ими было предложено считать, что пластическая зона имеет узкую клиновидную форму на продолжении трещины, а размер этой зоны не известен. Однако известно,

что напряжения в зоне ρт для идеального, упруго-пластического материала

равны σт (рис.10)

17

Рис.10. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла За пределами этой зоны напряжения будут упругими, поэтому упруго-

пластическая задача сводится к упругой для тела, имеющего трещину, равную ι+ρт и нагруженную:

1- растягивающими напряжениями σ на бесконечности.

2– сжимающими напряжениями ρт в пределах rт.

Решением этих 2-х упругих задач получено, что

Размер пластической зоны (rт, ρт )растет с увеличением напряжений,

причем ρт > rт (рис.11).

Рис.11.Зависимость размера пластической зоны и раскрытия трещины от уровня напряжений.

18

(25) является более общим выражением, т.к.(24) является его 1-м членом разложения в ряд.

Раскрытие трещин δпри увеличении σрастет аналогично rт/ι(рис.11).

Анализ напряжений и деформации в зоне трещины можно выполнить используя теорию концентрации.

Используя упругие решения и понятия о коэффициентах концентрации напряжений в вершине трещины можно записать

Получить распределение напряжений σ и деформаций е в вершине трещины и

для любой точки X можно через коэффициенты концентраций деформаций Ке и

напряжений Кσ в зависимости от σ= σn. Выделяя из полученных решений

20