Тема 8. Моделювання ризику при різних рівнях заданого розподілу ймовірностей

Основні питання:

1. Критерії прийняття рішень при заданому розподілі ймовірностей.

2. Критерії прийняття рішень за умов відсутності розподілу ймовірностей.

3. Суперпозиція критеріїв прийняття рішень, обтяжених ризиком.

Мета теми: опрацювання теорії математичних моделей та методів прийняття раціональних рішень за умов заданого розподілу ймовірностей.

Основні терміни і поняття теми: критерій Байєса, критерій Бернуллі-Лапласа, математичне сподівання, антагоністичні інтереси середовища.

Зміст теми.

Згідно з критерієм Байєса (критерій ризику) оптимальним розв’язком слід вважати такий, для якого математичне сподівання функціоналу оцінювання досягає свого найменшого значення:

, (36)

де - величина ризику функціоналу оцінювання

Етапи розрахунку критерію:

1. розраховується матриця ризиків;

2. розраховуються величини , які називають Байєсовським ризиком для розв’язку .

3. з отриманих значень обирають мінімальне.

Отже, оптимальним є варіант, який забезпечує підприємству мінімальний допустимий ризик.

Існує інший варіант застосування критерію Байєса, який задовольняє умові:

(37)

Тобто, знаходиться математичне сподівання для кожного рішення на основі вихідної матриці прибутків і обирається серед них максимальне.

Згідно з критерієм Бернуллі-Лапласа апріорні ймовірності станів середовища рівні, тобто згідно з «принципом недостатніх підстав»: .

Ці оцінки розподілу апріорних ймовірностей дають змогу застосувати критерії інформаційної ситуації . Критерій Бернуллі-Лапласа, що ґрунтується на застосуванні критерію Байєса та принципу недостатніх підстав для знаходження оцінок апріорних ймовірностей , формулюють так: оптимальним є той розв’язок , який задовольняє умові:

, (38) де , (39)

n – кількість станів економічного середовища.

Етапи розрахунку даного критерію:

1. розраховується матриця кількісної оцінки ризику;

2. визначається середнє математичне очікування ризиків;

3. із отриманих даних обирається мінімальне.

Іншим способом визначення оптимального варіанту за даним критерієм є вибір рішення яке задовольняє умові:

, (40)

де (41)

Тобто, за основу розрахунків береться вихідна матриця прибутків.

В ситуації, коли мається апріорний розподіл ймовірностей настання певного стану і водночас йдеться про антагоністичні інтереси середовища , що мають для керівництва фірми пріоритет, то має місце інформаційна ситуація , при якій за критерій прийняття рішення обирається критерій Гурвіца.

Етапи розрахунку критерію:

1. визначається мінімальне значення функціоналу оцінювання для кожного рядку вихідної матриці;

2. для кожного рішення визначається ;

3. для кожного рішення визначається ;

4. із отриманих значень обирається максимальне.

Критерій Гурвіца має назву песиміста-оптиміста. При критерій Гурвіца співпадає з максимальним критерієм, а при - з критерієм Вальда.

За іншими методиками (за відсутності ймовірностей розподілу станів середовища) на основі матриці прибутків критерій Гурвіца визначається згідно умови:

, (42)

а на основі ризиків:

(43)

Якщо в умові задачі є ймовірність (Р) появи стану середовища (Q), то критерій Гурвіца слід розраховувати з використанням (на основі) критерію Байєса.

Якщо ймовірності не вказані, слід скористатися формулами (42) та (43).

Література: 1, с. 166-188; 3, с. 205-256; 5, с. 256-300; 10, с. 106-119