Контрольные вопросы

1. Обосновать необходимость численного решения дифференциальных уравнений.

2. В каком виде получается решение дифференциального уравнения при решении численными методами?

3. Сущность метода Эйлера решения дифференциальных уравнений.

4. Сущность метода Рунге-Кутта решения дифференциальных уравнений.

5. Каким образом решаются дифференциальные уравнения высших порядков методами Эйлера и Рунге-Кутта.

6. В чем заключается необходимость численного решения дифференциальных уравнений?

7. Назовите известные вам методы численного решения дифференциальных уравнений?

8. На чем основан метод Эйлера решения дифференциальных уравнений? Его преимущества и недостатки.

9. На чем основан метод Рунге-Кутта решения дифференциальных уравнений? Его преимущества и недостатки.

10. Что такое операторная функция ?

11. Как задается операторная функция на языке Borland Pascal 7.0?

Лабораторная работа № 2 Тема: “Решение задач интерполяции и экстраполяции”.

Цель работы: изучить методы получения интерполяционных многочленов и овладеть навыками организации алгоритмов и программ решения задач интерполирования функций и отладки их на ПЭВМ.

Краткое теоретическое введение.

Пусть на интервале [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек a  x_o< x₁ < x₂ <...< x_n  b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел y_i(i=0, 1,2,...,n) (например, как значения функции в узловых точках). Под задачей интерполяции понимают нахождение многочлена I_n(x) степени не больше n такой, что I_n(x_i)=y_i для 0  i  n.

Интерполяцию обычно применяют тогда, когда относительно f известны только дискретные значения функции y=f(x), и, чтобы вычислить другие ее значения между узловыми точками (интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция), ее приближают многочленом I_n(x), причем f(x_i)=I_n(x_i) (i=0,1,2,...,n).

Всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различной форме.

Форма Лагранжа: , где L_j(x) - полиномы n-ой степени, называемые лагранжевыми коэффициентами и имеющие вид:

.

Степень каждого полинома L_j равна n, сам он равен 1 в точке х = x_j и обращается в нуль в остальных узлах интерполяции. Формула позволяет вычислять значения полинома Лагранжа и без нахождения его коэффициентов.

У интерполяционного многочлена Лагранжа наблюдается явная зависимость от каждого значения функции Это в многих случаях бывает полезно, но при изменении интерполяционный многочлен Лагранжа надо строить заново. В этом его недостаток.

Для удобства вычислений целесообразно составить вспомогательную таблицу где х_о, x₁, …, x_n — узлы интерполяции, а х— значение аргумент, для которого определяется приближенное значение по интерполяционной формуле Лагранжа.

,

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа можно переписать в виде .

Таблица 1

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…

Форма Ньютона: ,

где

Интерполяционный многочлен Ньютона содержит не значение функции , а ее разделенные разности. При изменении степени у интерполяционного многочлена Ньютона надо добавить или отвергнуть соответствующее количество стандартных слагаемых. Это удобно на практике.

Пусть теперь -произвольные точки (узлы) оси , причем при .

Значение функции в узлах называются разделенными разностями нулевого порядка.

Число называется разделенной разностью первого порядка функции (соответственно точкам ).

Очевидно, что, разделенная разность первого порядка является симметричной функцией аргументов и .

Разделенная разность -го порядка определяется через разделенные разности -го порядка по рекуррентной формуле

При вычислениях разделенные разности записывают в виде таблицы.

Таблица 2.

Разделенная разность -го порядка может быть представлена через узловые значения функции формулой то есть симметричной функцией своих аргументов.

Значение разделенной разности не зависит от порядка нумерации узлов, по которыми она строится. Всего имеем вариантов нумерации узлов целыми числами от 0 к .

Часто применяют равноотстоящие узловые точки (узловые точки, расположенные на равном расстоянии друг от друга):

x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2h; x₃=a+3h;...; x_n =a+nh=b, т.е. h= .

В этом случае разделенные разности выражаются через простые разности:

[x_kx_k+1x_i-2...x_k+m]= ^mf_k,

где ⁰f_k=f_k, ¹f_k=f_k+1-f_k, ^mf_k=(^m-1f_k) (m=2,3,...,k).

Разностная схема упрощается. Формула Ньютона принимает вид

l_n(x)=f₀+f₀(x-x₀)+ ²f₀(x-x₀)(x-x₁)+ ⁿf₀(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n-1).