- •Лабораторная работа № 1
- •Краткое теоретическое введение
- •Задание на работу.
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 2 Тема: “Решение задач интерполяции и экстраполяции”.
- •Краткое теоретическое введение.
- •Задание к работе
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий на лаб работу 1
- •Варианты заданий на лаб. Работу 2
Лабораторная работа № 1
Тема: “Решение дифференциальных уравнений I и II порядка”.
Цель работы: изучение численных методов решения дифференциальных уравнений I и II порядка.
Краткое теоретическое введение
1. Методы Эйлера численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Метод численного решения дифференциального уравнения первого порядка
(1)
с начальным условием основан на разложении решения в ряд Тейлора в -окрестности точки :
При отбрасывании всех членов ряда, содержащих производные второго и высших порядков получим: , где -правая часть уравнения (1).
Пользуясь значением из разложения в - окрестности точки получим
(2)
Аналогично продолжая для следующей точки , получим
(3)
Если дано уравнение второго порядка
(4)
с начальными условиями и , то как такое уравне- ние можно свести к системе двух уравнений первого порядка
, (5)
причем и .
Тогда приближенные значения функций и в точке можно высислить по формулам
, (6)
где - правая часть уравнения (4).
При достаточно малой величине шага метод Эйлера дает решение с большой точностью, т.к. погрешность решения близка к .
2. Методы Рунге-Кутта численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием .
Последовательные значения искомой функции определяются по формуле
где ,
- коэффициенты, которые вычисляются по формулам
где - шаг интегрирования;
- правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
Если дано уравнение второго порядка с начальными условиями и , то как такое уравне- ние можно свести к системе двух уравнений первого порядка
,
причем и .
Тогда приближенные значения функций и можно вычис- лить по формулам
,
где - коэффициенты вычисляемые по формулам
,
где - шаг интегрирования;
- правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
Метод Рунге-Кутта применим также для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяя формулы для каждого уравнения в отдельности. При этом погрешность интегрирования - есть величина порядка .
Задание на работу.
1.По указанию преподавателя или в соответствии с вариантом из Таблиц 1 и 2 заданий (см. Приложение) взять условия – дифференциальные уравнения первого и второго порядка, начальные условия, границы отрезка интегрирования и шаг интегрирования.
2.Изучить методы численного решения дифференциальных уравнений первого и высших порядков.
3.На основании формул методов Эйлера и Рунге-Кутта, составить блок-схему и программу для решения дифференциального уравнения первого порядка. Сравнить результаты. Затем шаг принять, равный 0.1h и повторить расчеты. Сделать выводы.
4.Представить дифференциальное уравнение II порядка в виде системы дифференциальных уравнений I порядка .
5.Составить блок-схему алгоритма и программу решения систем дифференциальных уравнений первого порядка методами Эйлера и Рунге - Кутта. Предусмотреть вывод значения контрольной функции в точках табулирования.
Содержание отчета: титульный лист, тема и цель работы, № варианта задания и собственно задание, описание методов решения дифференциальных уравнений, математическая постановка задачи и определение области допустимых значений (ОДЗ), блок-схема алгоритма, текст программы и результаты её работы. Работу программы студент обязан показать на ПЭВМ.