1. Основы теории электрических цепей с распределенными параметрами

Используются отношения и закономерности, установленные для модели двухпроводной однородной линии [1 – 6].

1.1. Дифференциальные уравнения однородной двухпроводной линии

Исходными характеристиками при математическом исследовании линий в большинстве случаев являются так называемые первичные параметры. Это сопротивление , индуктивность , емкость и проводимость , задаваемые на единицу длины линии. Для большинства линий эти параметры задаются на километр длины. В случае радиолиний, работающих на высоких частотах, первичные параметры исчисляются на метр длины. В настоящем пособии используются следующие величины: , Ом/км; , Гн/км; , Ф/км; , См/км. В случае однородной линии первичные параметры одинаковы по всей ее длине.

Сопротивление и индуктивность характеризуют провода линии и называются продольными параметрами. Емкость и проводимость относятся к среде, окружающей провода, и называются поперечными.

Проводимость среды и распределенная емкость между проводами обусловливают наличие так называемых токов утечки через изоляцию по всей длине линии – на рис. 1.1 это отражено поперечными r- и С-ветвями, распределенными вдоль линии. У воздушных линий такой изоляцией является воздух.

Рис. 1.1. Схема линии с распределенными параметрами

Ток нагрузки из-за токов утечки не равен входному току . Кроме того, фазы напряжений и токов изменяются вдоль линии, что также требуется учитывать в расчетах.

Как уже указывалось, законы Кирхгофа не могут быть записаны для линии в целом. Поэтому для получения дифференциальных уравнений поступают следующим образом. Линию представляют как набор малых элементов (рис. 1.2), уравнения по законам Кирхгофа записывают для одного из элементов, а затем результат распространяют на всю линию.

Рис. 1.2. Представление линии с распределенными параметрами в виде набора бесконечно малых элементов

Схема замещения линии, приведенная на рис. 1.2, называется цепной или цепочечной схемой.

На рис. 1.3 приведен выделенный бесконечно малый элемент линии с распределенными параметрами.

Рис. 1.3. Бесконечно малый элемент линии с распределенными параметрами

Для контура и узла этой схемы можно записать:

(1.1)

Здесь и – соответственно ток проводимости и емкостный ток через поперечные цепочки и В основу такой записи положены известные соотношения: .

Преобразование уравнений (1.1) приводит к системе:

(1.2)

Составляющие в квадратных скобках представляют собой величины второго порядка малости, которыми можно пренебречь. В результате приходим к системе двух дифференциальных уравнений с частными производными:

(1.3)

которые получили название телеграфных уравнений.

Независимыми переменными в системе уравнений (1.3) являются время t и пространственная координата x, совпадающая с направлением линии. Эти дифференциальные уравнения описывают волновые процессы в линиях [1 – 5].

Уравнения (1.3) кроме двухпроводных воздушных линий (рис. 1.4, а) применяются к коаксиальным кабелям, находящим широкое использование в радиотехнике и технике связи.

Коаксиальный кабель (рис. 1.4, б) представляет собой двухпроводную систему: одним проводом является внутренний проводник (жила) кабеля, а вторым – металлическая оболочка, которая одновременно выполняет роль экрана от внешних электромагнитных помех. Между проводами коаксиального кабеля расположен слой твердой или воздушной изоляции.

Не вызывает принципиальных затруднений применение уравнений (1.3) к трехфазным линиям (рис. 1.4, в) и симметричным кабелям различного наз­-

начения. Пример сечения двухжильного симметричного кабеля приведен на рис. 1.4, г.

Рис. 1.4. Сечение воздушных линий и кабелей:

а – двухпроводная воздушная линия; б – коаксиальный кабель;

в – трехфазная линия; г – двухжильный симметричный кабель

В энергетике воздушные линии переменного тока работают при основной частоте f = 50 Гц. В технике проводной связи рабочий диапазон частот воздушных линий распространяется до величин порядка 150 кГц. В радиотехнических устройствах двухпроводные линии используются в диапазоне частот до 310⁸ Гц, охватывая диапазон метровых волн. Коаксиальные линии расширяют диапазон используемых частот до 25 МГц в кабелях связи и до 10¹⁰ Гц в радиочастотных кабелях.