1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

1.1. Первообразная функция

Определение: Функция называется первообразной для функ­ции на интервале , если в любой точке этого интервала выполняется равенство .

Пример 1.1.1. Показать, что функция является первообразной функцией для функции .

Решение. Функция является первообразной функцией для на всей числовой оси, т.к. .

Пример 1.1.2. Показать, что функция является первообразной функцией для функции .

Решение. Функция является первообразной функцией на всей числовой оси, т.к. .

Пример 1.1.3. Показать, что функция является первообразной функцией для функции .

Решение. Поскольку в любой точке интервала производная первообразной равна данной функции: , то функция является первообразной для функции .

Пример 1.1.4. Показать, что функция является первообразной функцией для функции .

Решение. Поскольку в каждой точке верно ра­венство , то функция является первообразной для

функции для всех .

Теорема. Две дифференцируемые на некотором промежутке функции и является первообразными одной и той же функции, тогда и только тогда, когда они отличаются на некоторую постоянную:

, , .

Пример 1.1.5. Показать, что функция является первообразной функцией для функции .

Решение. Поскольку , то - является первообразной для функции .

Заметим, что для данной функции эта первообразная не является единственной: .

1.2. Неопределенный интеграл

Определение: Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от и обозначается символом , где - знак интеграла, - подынте­гральное выражение. Таким образом,

.

Замечание 1. В определении неопределенного интеграла не исключается, что сама возможно является функцией некоторой пе­ременной.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функ­ции называется интегрированием этой функции.

Замечание 2. Достижение непрерывности функции на промежутке является условием интегрируемости функции на этом про­межутке Сле­дует отметить, что для дифференцируемости функции ее непре­рывность является лишь необходимым, но недостаточным условием.

1.3. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

(1.3.1)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтеграль­ному выражению, т.е.

(1.3.2)

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции ра­вен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

(1.3.3)

где С – постоянного слагаемого.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

, (1.3.4)

где - некоторое число, .

5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из этих функций:

(1.3.5)

6. Если справедливо равенство: , то справедливым будет и соотношение:

. (1.3.6)

Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функ­ции , можно записать .

На основании свойства 2 и (1.3.2.) дифференциал неопределенного ин­теграла , откуда .

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно заключить, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала являються взаимооб­ратными (знаки и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3 с точностью до постоянного слагаемого).

Свойство 6 означает, что линейное изменение аргумента у функции под знаком интеграла ведет к аналогичному изменению аргумента первообразной, с поправкой на множитель ).