1.4. Таблица основных интегралов и ее применение

1.	(1.4.1)
2.	, (1.4.2)
3.	(1.4.3)
4.	(1.4.4)
5.	(1.4.5)
6.	(1.4.6)
7.	(1.4.7)
8.	(1.4.8)
9.	(1.4.9)
10.	(1.4.10)
11.	(1.4.11)
12.	(1.4.12)
13.	(1.4.13)
14.	(1.4.14)
15.	(1.4.15)
16.	(1.4.16)
17.	(1.4.17)
18.	(1.4.18)

Рассмотрим на примерах применение таблицы и некоторых свойств интегралов, (такие вычисления называются непосредственным интегрированием).

Пример 1.4.1. Найти .

Решение.	П о свойству 5 для алгебраической суммы функций
	По табличным формулам (1.4.5), (1.4.3), (1.4.2), (1.4.13) возьмем интегралы и прибавим одну общую константу
.

Пример 1.4.2. Найти .

Решение.

По формуле (1.4.13) при а = 5 получим

.

Пример 1.4.3. Найти .

Решение.

По формуле (1.4.18) при k = 7 .

Пример 1.4.4. Найти .

Решение.

Пример 1.4.5. Найти .

Решение.

Пример 1.4.6. Найти .

Р ешение.

По формуле 17 при = .

2. Методы интегрирования

2.1. Интегрирование с помощью замены переменной

Полагая , где t – новая переменная и – непрерывная функция, дифференцируемая в области определения, будем иметь:

. (2.1.1)

Пример 2.1.1. Вычислить .

Решение.

.

Пример 2.1.2. Найти .

Решение.

.

Пример 2.1.3. Найти .

Решение.

.

2.2. Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям: Если и - дифференцируемые функции, то:

. (2.2.1)

Умение разбить подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения. Но можно указать основные типы интегралов, к которым применима формула интегрирования по частям.

Если подынтегральное выражение имеет вид

рекомендуется обозначать: =

рекомендуется обозначать =

– любая из функций, но здесь обязательно требуется двукратное интегрирование по частям.

Пример 2.2.1. Найти .

Решение.

.

Пример 2.2.2. Найти .

Решение.

.

Пример 2.2.3. Найти .

Решение.

.

Пример 2.2.4. Найти .

Решение.

.

Приравняем начальное и конечное выражения:

.