2.4.2. Вывод рабочих формул.

Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка. Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то волчок не падает, а совершает так называемую прецессию - движение, при котором его ось описывает коническую поверхность вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью Ω (рис.4.2). При этом оказывается, что чем больше угловая скорость вращения волчка вокруг собственной оси, тем медленнее вращается ось волчка вокруг вертикали (т.е тем меньше Ω). Характер движения волчка в этом случае ( ω>> Ω) можно довольно просто описать с помощью основного закона динамики вращательного движения:

(2.4.1.)

где		–	момент внешних сил; (2.4.2.)
		–	момент импульса гироскопа. (2.4.3.)

Момент импульса волчка , относительно точки опоры О (рис.4.2) можно представить в виде суммы момента импульса L_w, обусловленного вращением волчка вокруг собственной оси, и некоторого добавочного момента импульса L , вызванного прецессией волчка относительно вертикальной оси, т.е

(2.4.4.)

Т.к. модули моментов импульса и пропорциональны частотам вращения ω и Ω, соответственно, то для случая  ω>> Ω справедливо L _w>> L_д. Следовательно, пренебрегая добавочным моментом инерции получим

(2.4.5.)

где

I

–

- момент инерции волчка относительно точки О.

Таким образом, зная поведение вектора L мы, тем самым, определим и характер движения оси волчка .

Согласно (2.4.1) момент импульса L относительно точки О получает за время dt приращение

(2.4.6.)

совпадающее по направлению с вектором - моментом внешних сил (в данном случае это момент силы тяжести mg ) относительно той же точки О. 

Вектор , а, следовательно, и ось волчка (рис. 4.2), будет двигаться вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора  Θ. Такое движение - прецессия - будет происходить с некоторой угловой скоростью

(2.4.7.)

Найдем связь между векторами . Рассматривая треугольник ОАВ и АВС, (рис. 4.2) определим  модуль приращения вектора L за время dt:

(2.4.8.)

Момент импульса (2.4.8.) в векторной форме запишем:

(2.4.9.)

Сравнивая (2.4.6) и (2.4.9) получим:

(2.4.10.)

Видно, что момент внешних сил определяет угловую скорость прецессии, а не ускорение !

Таким образом, под действием момента внешних сил ось гироскопа (совпадающая по направлению с вектором ) вращается (прецессирует) вокруг вертикальной оси с угловой скоростью прецессии Ω, описывая в пространстве коническую поверхность. Такая довольно простая картина соответствует случаю быстро вращающегося вокруг собственной оси гироскопа ( ω >> Ω).

Для используемой установки вследствие горизонтального расположения гироскопа ( ) момент внешних сил можно записать в следующем виде:

M=ΩL или M=mgl,

где	m	–	масса устанавливаемого груза;
	l	–	расстояние от груза до оси вращения.