66. Постановка задачи лп; идея симплекс-метода; алгоритм симплекс-метода

Задачей ЛП наз-ся задача c₁₁+ c₂₂+… +c_n_n – min при ограниченияех

a111+ a122+…+ a1nn  b1 a211+ a222+…+ a2nn  b2 … am11+ am22+…+ amnn  bm

и _1,…, _n0, где c_i, a_ij, b_i – вещественные числа

Будем рассм задачу минимизации, т.к. задачу максимизации можно свести к ней путем домножения на -1.

Задачу можно представить в матричной форме: обозн. x=(₁, …, _n), c=(c₁,…,c_n), b=(b₁,…,b_m), A={a_ij}. Тогда задача будет: <c,x> - min, Axb, x0

От задачи с нер-ми можно перейти к задаче с рав-ми путем введения доп. переменных _n+1, _n+2, …, _n+m >0. Тогда получим задачу: c₁₁+ c₂₂+… c_n_n+0*_n+1+…+_n+m – min

a111+ a122+…+ a1nn+n+1 = b1 a211+ a222+…+ a2nn +n+2 = b1 … am11+ am22+…+ amnn +n+m= bm

_1,…, _n+m0

Можно доказать, что решив эту задачу, будет решена и исходная.

Обозн

тогда задачу можно представить в виде: c11+ c22+… cnn – min P11 + P22+…+Pnn = P0 1…n 0

Вектор x, удовл-ий ограничениям задачи наз‑ся допустимым решением, или планом. Мн-во всех планов – мн-во допустимых решений (мн-во планов). План, который доставляет минимум целевой ф-ии – решение. План наз‑ся опорным, если векторы Pj, соотв-ие ненулевым компонентам плана, линейно независимы. Пусть ранг матр. A = m. Опорный план наз‑ся невырожденным, если число ненулевых компонент k в этом плане совпадает с m; и называется вырожденным, если k>m.

Симплекс-метод: предположим, что среди векторов столбцов ограничений есть векторы P₁, …, P_m, которые образуют единичный базис и коэфф. разложения вектора P₀ по этому базису не отрицательны.

Если оказалось, что все оценки в строке критериев не положительны, то по теореме об оптимальности, опорный план, соответствующий исх‑му базису, оптимален. В противном случае, в строке критериев нужно выбрать любую положительную оценку.

Базис Cбаз P­0 P1 P2 … Pm Pm+1 … Pj … Pn P1 c1 10 1 0 … 0 1 m+1 … 1j … 1n P2 c2 20 0 1 … 0 2 m+1 … 2j … 2n … … … … … … … … … … … … Pm c­m m0 0 0 … 1 n m+1 … mj … mn z0 строка критериев zj-cj j

Пусть эта оценка j. Это озн‑ет, что P_j следует вводить в базис на следующем шаге. Выбранный столбец Pj принято называть ведущим на этом шаге. Для ведущего столбца вычисляется значение _j=min(_i0/_ij) по i: _ij > 0. Пусть минимум достигается при i=s. Число _sj в ведущем столбце принято называть ведущим элементом таблицы на данном шаге.

После того, как найден ведущий элемент, найден и вектор P_s, выводящийся из базиса. В следующей симплекс-таблице в первом столбце будет стоять новый базис P₁, …, P_s-1, P_j, P_s+1, …,P_m.

Для нового базиса при заполнении новой таблицы придется отыскивать коэффициенты разложения.

Для получения новых коэфф-ов разложения нужно сделать следующее:

Вся строчка с номером s делится на ведущий элемент _sj, затем с пом. полученной на месте s_j единички элементарными преобразованиями строк добиваемся чтобы во всех остальных строчках ведущий столбец получились нули. Новая матрица будет состоять из искомых коэф‑оф разложения.

Пр. min(21 - 32 + 3 + 54­ - 25) 1 + 24 - 35 = 6 2 - 4 + 5 = 4 3 + 24 + 25 = 3 1…5  0

2 -3 1 5 -2 Базис Cбаз P0 P1 P2 P3 P4 P5 P1 2 6 1 0 0 2 -3 P2 -3 4 0 1 0 -1 1 P3 1 3 0 0 1 2 2 3 0 0 0 4 -5 P1 2 3 1 0 -1 0 -5 P2 -3 11/2 0 1 ½ 0 2 P4 5 3/2 0 0 ½ 1 1 -3 0 0 -2 0 -9 На втором шаге найден оптимальный опорный план. Т.о. решение: x*=(3, 11/2, 0, 3/2, 0)