67. Приведение задачи лп к каноническому виду. Метод дополнительных и искусственных переменных

Задачей ЛП наз-ся задача c₁₁+ c₂₂+… +c_n_n – min при ограниченияех

a111+ a122+…+ a1nn  b1 a211+ a222+…+ a2nn  b2 … am11+ am22+…+ amnn  bm

и _1,…, _n0, где c_i, a_ij, b_i – вещественные числа

Задача ЛП имеет канонический вид, если: 1) ограничения, задающиеся матрицей A имеют форму равенств. 2)столбец P₀=(b₁,…,b_m)  0 и 3) _i 0

Любую задачу ЛП можно привести к каноническому виду:

1. пусть среди основных ограничений есть ограничения вида  или . Тогда в соответствующие строчки нужно либо добавить, либо вычесть доп. новые переменные, потребовать их неотрицательность. В целевую ф‑ию эти новые переменные войдут с коэфф‑ми ноль.

2 . избавиться от отрицательных чисел в столбце P₀ можно домножением соответствующих строк на -1.

3 . Пусть, например, на переменную не накладывается условие неотрицательности. Тогда делается замена этой переменной вида , где

Пр.

min(1 - 22)		min(1 - 22 + 0*3)		min(1 - 1 – 22 + 0*3)
21+2  1 1-32 = -3		21+2 - 3 = 1 -1+32 = 3		21-21+2 - 3 = 1 -1+1 +32 = 3
1  0		2, 3  0		1, 1, 2, 3  0

Метод искусственного базиса: этот метод применяется в тех случаях, когда среди векторов столбцов ограничений исходной задачи нет единичного базиса. Согласно этому методу с пом. введения так называемых искусственных переменных на основе исходной задачи строится новая, обладающая таким базисом. Затем решается новая задача и при ее решении получается автоматически и решение исходной задачи.

c₁₁+ c₂₂+… +c_n_n – min

a111+ a122+…+ a1nn = b1 a211+ a222+…+ a2nn = b1 … am11+ am22+…+ amnn = bm

_1,…, _n0

Введем m искусственных переменных _n+1,…, _n+m  0 и перейдем к новой задаче:

c₁₁+ c₂₂+… + c_n_n + _n+1 + … + _n+m – min

a111+ a122+…+ a1nn + n+1 = b1 a211+ a222+…+ a2nn + n+1 = b2 … am11+ am22+…+ amnn + n+m = bm

_1,…,_n,_n+1,…,_n+m 0, где  - сколь угодно большое положительное число.

Можно доказать, что если (^*₁,…, ^*_n, ^*_n+1,…, ^*_n+m) – решение полученной задачи, то (^*₁,…, ^*_n) – решение исходной.

68. Постановка задачи выпуклого программирования. Определение и примеры выпуклых множеств и выпуклых функций. Выпуклость и замкнутость лебегова множества выпуклой функции. Градиентное неравенство для выпуклых функций. Экстремальные свойства выпуклых функций (теорема о глобальном и локальном минимуме)

М н‑во GR_n наз‑ся выпуклым, если x₁,x₂ G и (0,1) выполняется x₁+(1‑)x₂G. Пустое мн-во и мн-во, состоящее из одной точки считаются выпуклыми.

выпуклое не выпуклое

Ф-ия f(x) наз‑ся выпуклой на выпуклом мн-ве GR_n, если x₁,x₂ G, (0,1) выполняется: f(x₁ + (1-)x₂)  f(x₁) + (1-)f(x₂). Ф‑ия наз‑ся строго выпуклой, если неравенство – строгое.

Пр. f(x) = c, x = c₁₁ + … + c_n_n. покажем выпуклость этой ф-ии. Выберем произв. x₁, x₂R_n и (0,1) f(x₁ + (1-)x₂) = c, x₁ + (1-)x₂ = c, x₁ + (1-) c, x₂ = f(x₁) + (1-) f(x₂) Т.е. неравенство, необходимое для выпуклости ф‑ии выполняется как равенство, следовательно функция выпукла.

Теорема: ф-ия f(x) явл-ся выпуклой в R_n т.тогда, когда x,SR_n, ф‑ия () = f(x + S), где R₁, является выпуклой в R₁

Теорема: (о выпуклости и замкнутости Лебегова мн‑ва выпуклой ф‑ии) Пусть GR_n – выпуклое и замкнутое мн‑во, а f(x) – выпуклая на G непрерывная ф‑ия. Тогда мн-во L  {xG: f(x)  b = const} является выпуклым и замкнутым множеством.