Раздел 1. Линейная алгебра.

1. Матрицей А размера m x n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений a_ij . Первый индекс (i) указывает номер строки, а второй (j) –номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.

Если m=n, то матрицу называют квадратной. Треугольной матрицей называется квадратная матрица А, все элементы которой расположены по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые . Нулевой матрицей называют матрицу О, которая состоит из элементов равных нулю. Единичной матрицей называется квадратная матрица, на главной диагонали которой элементы равны 1, все остальные элементы равны 0.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

 перестановка любых двух строк матрицы;

 умножение любой строки на произвольное, отличное от нуля, число;

 сложение любой строки с другой строкой , умноженной на произвольное число;

 транспонирование матрицы.

Две матрицы называют равными и пишут А=В, если они одинаковой размерности m x n и их соответствующие элементы равны.

Матрицы А и В, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называют эквивалентными.

2. Умножение матрицы на число заключается в построении матрицы.

Свойства умножения матриц на число:

1. 1A = A;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матрици, то есть каждый элемент матрицыравен

Свойства сложения матриц:

1. 1.коммутативность:A+B = B+A;

2. 2.ассоциативность:(A+B)+C =A+(B+C);

3. 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4. 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения) — есть операция вычисления матрицы, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице, иными словами, матрицаобязана бытьсогласованной с матрицей . Если матрицаимеет размерность,—, то размерность их произведенияесть.

Свойства умножения матриц:

1. 1.ассоциативность(AB)C = A(BC);

2. 2.некоммутативность(в общем случае):AB BA;

3. 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

4. 4.дистрибутивность:(A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5. 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Линейные комбинации

В векторном пространствелинейной комбинацией векторовназывается вектор

где — коэффициенты разложения:

1. если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,

2. если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение матрицитерминах линейных комбинаций:

1. столбцы матрицы — это линейные комбинации столбцов матрицыс коэффициентами, взятыми из матрицы;

2. строки матрицы — это линейные комбинации строк матрицыс коэффициентами, взятыми из матрицы.