3. Вычисление определителей второго порядка.

Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.

Вычисление определителей третьего порядка. Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

+ +---

Основные свойства определителей:

1. Опр-ль не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами.

2. Опр-ль изменит знак на противоположный, если переставить местами любые 2 строки( 2 столбца) определителя.

3. Общий множитель элементов какой-либо строки(столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Опр-ль равен нулю, если содержит нулевую строку(столбец), две одинаковые или противоположные строки(столбца).

5. Опр-ль не изменится, если к какой-либо строке(столбцу)прибавить другую строку(столбец) умноженное на любое число.

6. Опр-ль треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

7.Метод Крамера для решения СЛАУ и условия их применимости

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системылинейных алгебраических уравнений снеизвестными отличен от нулято эта система имеет единственное решение, которое находитсяпо формулам Крамера:

- определители, образованные с заменой-го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один изотличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же, то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

8 Метод Гаусса решения СЛАУ и условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛАУ по методу Гаусса.

метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Достоинства метода:

a)   менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

b)   позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

9Преобразования СЛАУ, выполняемые методом Гаусса (можно на примере). Нахождение общего решения СЛАУ. Частные решения СЛАУ.

1) из элементов строки 2 вычитаем элементы строки 1, умноженные на 2;  2) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1; 3) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2; Как видно, система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.  Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:  , откуда находим. Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:

, откуда находим . Подставим, ранее найденное, значение переменной

, или . Итак, общее решение исходной системы уравнений есть

где и- свободные переменные. Вы можете получить частное решение данной системы, выбрав для свободных переменных произвольные значения.

10Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

 Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ=detА не равен нулю:Δ=detА≠0. В противном случае (Δ=0) матрица А называется вырожденной.

квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие A*A^-1=A^-1*A=E где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.