1.2. Динамика вращательного движения твердого тела.

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной (для определенности, вертикальной) оси. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними. Для любой системы частиц справедливо уравнение динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы частиц равна результирующему моменту внешних сил, действующих на тело

(1.7.)

Это уравнение справедливо и для твердого тела. Здесь – момент импульса тела.

сумма моментов внешних сил, действующих на тело или результирующий момент внешних сил.

Возьмем на оси вращения (оси Z) точку О и проведем из этой точки радиус-вектор до i-той частицы (см. рис 1.2). Момент импульса i-той частицы относительно точки О равен

.

Поскольку перпендикулярен ,то модуль момента импульса равен:

L_i = m_i r_i v_i = m_i r_i ωR_i, (1.8.)

где R_i – расстояние от i-той частицы от оси вращения. Рассмотрим проекцию вектора L_i на ось Z:

. (1.9.)

Здесь   – угол между вектором и осью Z. Просуммировав выражение (1.9 ) по всем частицам, получаем момент импульса тела относительно оси Z:

(1.10.)

Величина (1.11. )

называется моментом инерции тела относительно оси Z. Тогда

(1.12.)

Отсюда видно, что L_z не зависит от того, относительно какой точки (но лежащей на оси вращения) берется момент импульса L.

Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси Z запишется: 

(1.13.)

где М_z- проекция результирующего момента внешних сил на ось Z.

Учитывая, что получаем

(1.14.)

Для однородного (  = const) тела, симметричного относительно оси вращения, момент импульса относительно точки О, лежащей на оси вращения, совпадает по направлению с направлением вектора   .

В этом случае L= |L|. Учитывая |  | =  , имеем L = I | |= I  . Поскольку L и  по направлению совпадают, то

L = I . ( 1.15.)

Подчеркиваем, что выражение (1.12 ) справедливо для любого тела, а выражение ( 1.15 ) имеет место только для тела вращающегося вокруг оси симметрии.

1.3. Момент инерции. Теорема штейнера.

Значение момента инерции определенное по выражению (1.11) является неточным. Оно тем точнее, чем меньше , т.е. чем больше частей, на которые мы разбиваем тело. В пределе, для расчета момента инерции суммирование по частицам нужно изменить на интегрирование по всему объему сплошного тела:

(1.16.)

Определение момента инерции не представляет особого труда для однородного и симметричного тела, когда ось вращения проходит через центр масс. При расчетах момента инерции относительно произвольной оси используют теорему Штейнера. Она гласит : момент инерции I_z* относительно произвольной оси Z* равен сумме момента инерции I_z относительно оси Z, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями a (см.рис.1.3)

(1.17.)