2.2.2 Вывод рабочей формулы.

В качестве модели маятника Максвелла рассмотрим диск, подвешенный на нити. Нить намотана на ось диска (см. рис. 2.2) . Обозначим через R ₀ - радиус оси маятника, R _н - радиус нити подвески. Тогда R = R ₀ + R _н определяет внешний радиус оси маятника вместе с намотанной на ней нитью подвески. На диск действуют две силы (рис.2.2): mg- сила тяжести и Т - сила натяжения нити. Их равнодействующая вызывает поступательное движение центра масс (точки О) вниз с ускорением а. Кроме того, сила Т создает момент относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к диску. Величина этого момента равна М=Т·R, где R - плечо силы Т. Под его действием диск совершает

вращательное движение с угловым ускорением . Можно написать следующие два уравнения движения диска относительно центра масс:

ma = mg – T, (2.2.1.)

где	m	–	масса маятника;
	I	–	момент инерции маятника.

Учитывая связь между поступательным и угловым ускорением из системы (2.2.1.) получим:

(2.2.2.)

С другой стороны, ускорение а связано с высотой h, с которой падает маятник (она равна длине маятника) и временем t падения маятника:

(2.2.3.)

Сравнив формулы (2.2.2) и (2.2.3), получим расчетную формулу для определения момента инерции маятника Максвелла:

(2.2.4.)

2.2.3 Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений

ЗАДАНИЕ 1.Определение момента инерции маятника.

Целью первого задания является определение момента инерции самого маятника Максвелла (без кольца) и сравнение его с теоретически рассчитанным значением.

Порядок выполнения:

1.Нижний кронштейн прибора зафиксировать в крайнем нижнем положении.

2.На ось маятника равномерно намотать в один слой нить подвески и зафиксировать ее.

3. Проверить, совпадает ли нижняя образующая ролика маятника с нулём шкалы на колонке. Если нет, отвинтить верхний кронштейн и отрегулировать его высоту.

4. Нажать клавишу "START"- ПУСК миллисекундомера.

5. Воротком установить длину нити таким образом, чтобы нижний край ролика после опускания маятника находился на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы его ось была параллельной основанию прибора. Блокировать вороток.

6. Отжать клавишу "START"- ПУСК миллисекундомера.

7. Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она наматывалась равномерно, один виток за другим.

8. Зафиксировать маятник при помощи электромагнита.

9. Нажать клавишу "ZER"-СБРОС.

10. Нажать клавишу "START"-ПУСК.

11. Зафиксировать измеренное значение времени падения

маятника t_i .

12. Повторить эксперимент 5 раз.

13. Пользуясь шкалой на вертикальной колонке прибора определить длину маятника h.

14. Определить радиус оси вместе с намотанной на ней нитью:

R = R₀ + 2R_Н, где значения R₀ и R_н указаны на установке.

15.Произвести обработку времени падения маятника как результат прямых измерений, и результат записать в виде:

при α= 0,7; n = 5; .

16.По формуле (2.2.4) определить момент инерции маятника.

17.Определить относительную и абсолютную погрешность определения момента инерции маятника по формулам:

19.Результат записать в виде:

при α  = 0.7; n =5;   .

20.Вычислить теоретическое значение момента инерции маятника:

I_теор. = I ₀ + I_Р,

где I₀ = m₀ R₀² – момент инерции оси маятника,

I _Р= 0,5 m_Р  (R₀² + R_Р²) – момент инерции ролика,

где m₀ и R₀- масса и радиус оси маятника, соответственно;

m_p и R_p – масса и внешний радиус ролика, соответственно

21.Сравнить теоретическое значение момента инерции маятника с экспериментальным и сделать выводы.

ЗАДАНИЕ 2. Определение момента инерции металлического кольца.

Целью второго задания является измерение момента инерции одного из трех колец (по выбору преподавателя) с помощью маятника Максвелла и сравнение его с теоретически рассчитанным значением. Массы колец указаны на установке.

Порядок выполнения:

1.На ролик маятника надеть избранное кольцо, прижимая его до упора.

2.Повторить пункты 1 - 20 задания 1.

3.По формуле (2.2.4) определить момент инерции маятника с кольцом, где

m = m₀ + m_Р+ m_К,

где

mК

–

масса наложенного на ролик кольца.

4.Из полученного в предыдущем пункте значения вычесть значение момента инерции самого маятника (без кольца), взяв его из пункта 18 задания 1. Полученная разница представляет экспериментальное значение момента инерции кольца.

5.Вычислить момент инерции кольца и сравнить со значением, определённым опытным путём.

2.2.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1.Что называется абсолютно твердым телом?

2.Дайте определение момента инерции материальной точки и тела относительно оси вращения.

3.Выведите формулу для определения кинетической энергии вращающегося тела.

4.Какие свойства тела характеризует момент инерции?

2.3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА: ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы: Экспериментальная проверка основного уравнения вращательного движения твердого тела.

2.3.1 СХЕМА УСТАНОВКИ

Один конец нити (1) (рис.3.1.), перекинутой через диск(2), прикреплен к двухступенчатому шкиву (3), а ко второму концу ее привязаны грузы (4). Электромагнит (5) удерживает крестовину вместе с грузами в состоянии покоя. Фотоэлектрические датчики (6) и (7), вырабатывают электрические импульсы начала и конца движения груза (4), соответственно.

2.3.2. ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ

Вращение маятника (без учета сил трения и сопротивления воздуха) происходит под действием момента силы натяжения нити F:

M = FR_ш,

где	Rш	–	радиус шкива (плечо силы F);
	F	–	модуль силы F.

Величина силы F определяется из уравнения поступательного движения груза массы m:

ma = mg - F .

где а – ускорение движения груза.

Тогда

M= m(g - a)R_ш .

Следовательно, основное уравнение динамики вращательного движения для нашего случая примет вид :

8

2

4

7

3

5

1

Рис.3.1

Рис. 3.2.

где I - момент инерции всего маятника.

Учитывая, (нить считается нерастяжимой) его можно преобразовать к виду:

откуда

или

Интегрируя, при начальных условиях (t = 0),  ω = 0,  φ = 0,

получим

С учетом h = φR_ш , время падения груза

или

(2.3.1.)

Используя полученную формулу можно вычислить время падения t груза m с высоты h для установленного момента инерции системы I и сопоставить его с непосредственно измеренным в эксперименте временем падения t_э (при тех же значениях h, m, I).

Величина I в формуле (2.3.1) определяется с использованием теоремы Штейнера:

I = I_ш + 4Ic + 4Iц ,

где	Iш	–	момент инерции диска (значение I   представлено на установке);
	Ic	–	момент инерции спицы (значение Ic  представлено на установке);
	Iц	–	момент инерции цилиндрического груза

Iц = 0.25m_ц (0.33 _ц² + R_ц² - R_c²) + m_ц( + R_д  + 0.5 _ц )² .

Здесь:

	mц	–	масса цилиндрического груза;
	ц	–	длина цилиндрического груза;
	Rц	–	внешний радиус цилиндрического груза;
	Rс	–	радиус спицы;
	Rш	–	радиус шкива диска;
	Rд	–	радиус диска;
		–	расстояние от диска до цилиндрического груза.