4.1. Оценка сложных систем на основе теории полезности

В теории полезности исходят из того, что критерий эффективности предназначен для выявления порядка предпочтений на альтернативах (исходах операции), что позволяет обеспечить обоснованный выбор решения.

Полезность альтернатив (исходов) - искусственная мера, позволяющая соизмерить исходы операций по неравномерной шкале; это вещественное число, приписываемое исходу операции и характеризующее его предпочтительность по сравнению с другими альтернативами относительно цели.

Функция полезности – числовая ограниченная функция F(a), определенная на множестве альтернатив A={a_i}, i=1, 2…n и обладающая свойствами:

F(a_i) = F(a_j) – альтернативы a_i и a_j неразличимы: a_i  a_j

F(a_i) > F(a_j) – альтернатива a_i предпочтительнее альтернативы a_j: a_i a_j

В теории полезности доказывается, что при естественных допущениях относительно предпочтений ЛПР функция полезности существует. Допущения формулируются в виде аксиом:

Аксиома 1. Измеримость.

a_i p_i – мера относительной полезности исхода a_i, i=1, 2…n, 0  p_i  1.

Аксиома 2. Сравнимость.

a_i  a_j, где – совершенное, рефлексивное и транзитивное отношение слабого предпочтения.

Аксиома 3. Транзитивность.

Если a_i a_j и a_j a_k, то a_i a_k.

Если a_i  a_j и a_j  a_k, то a_i  a_k.

Аксиома 4. Коммутативность.

Предпочтение исхода a_i исходу a_j не зависит от порядка, в котором они названы и представлены.

Аксиома 5. Независимость.

Если a_i предпочтительнее a_j и существует исход a_k, не оцениваемый относительно этих исходов, тогда вероятностная смесь исходов a_i и a_k предпочтительнее вероятностной смеси исходов a_j и a_k. Т.е. отношение предпочтения (безразличия) между двумя исходами не нарушается наличием третьего исхода.

При выполнении всех 5 аксиом существует функция полезности, однозначно определенная на множестве всех альтернатив с точностью до монотонного строго возрастающего линейного преобразования, т.е. полезность измеряется в шкале интервалов. Функция полезности может быть как непрерывной, так и дискретной, в зависимости от типа показателей исходов операции (ПИО). Функция полезности называется прямой, если чем больше ПИО, тем он полезнее, и обратной, если чем выше ПИО, тем он менее полезен.

Все известные способы определения функции полезности носят приближенный характер и строятся на основе: анализа влияния исходов исследуемой операции на операцию более высокого уровня иерархии, экспертных оценок, аппроксимации.

Представление аппроксимации полезности:

1. О дноступенчатое представление может быть приемлемым для операций, в которых показателем исхода является срок выполнения работ, например, подготовка презентации на выставке. Исходы – фактическое время готовности. Время начала презентации a₀ – характерная точка. Полезность системы равна 1, если a_i < a₀ и полезность равна 0, если a_i > a₀.

2. и 3) Косинусоидальное и треугольное представление применимо для операций, в которых ПИО – интервал времени. Например, подготовка системы телеконференции в локальной сети. Характерная точка a₀ – установленное время готовности.