Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g

Вариант 1

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y = 4 − x2 , y = 3x,

C(1;3).

8.Вычислите поток векторного поля F = xi + yj + zk через внешнюю сторону гра-

ницы области, ограниченной поверхностями x2 + y2 =1+ 2z2 , z = 2 и z =0 .

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = x2 y(3yzi + 2xzj + xyk ).

Вариант 2

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x2 = 2y, 5x −2y −6 =0.

D

2.Найти массу неоднородной пластины D : x =0, y =0, x + y =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 −2x =0, x + y ≤0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a =ex+y (zi + zj + k ).

Вариант 3

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x = 8 − y2 , y ≥0, y = x.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 −4y2 , z =0, x = 4.

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

∫(2y + y2 )dx +(y2 + 2xy)dy, где L : x2 + y2 = R2.

L

8.Вычислите поток векторного поля F = xi + yj + xyk через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями z = xy , x + y =1 и z =0 .

9.Найдите циркуляцию векторного поля F = z2i + x2 j + y2k по линии

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = y2 z(yzi +3xzj + 2xyk ).

Вариант 4

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x ≥0, y ≥0, y ≤1, y = lnx.

D

2.Найти массу неоднородной пластины D : x2 + y2 = 4x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 − x.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x =0, x + y ≥0,

относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

∫(y − x2 )dx −(x + y2 )dy, L : x2 + y2 = R2 , (x ≥0, y ≥0).

L

8. Вычислите поток векторного поля F = x2i − y2 j + zk через внешнюю сторону

границы области, ограниченной поверхностями z = x2 + y2 +9 и z =5. 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)

∫(5y − x)dx +(y + 2z)dy +(1+ 2y − z)dz , где C − линия, определяемая уравнениями

C

x =3cost; y = 2sint; z =3cost −2sint; t [0; 2π] (в направлении, соответствующем

возрастанию параметра t ).

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a =ez (i − j +(x − y)k ).

Вариант 5

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x2 = 2 − y, x + y = 0.

D

2. Найти массу неоднородной пластины D : x =0, y =1, y = x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + 2y2.

L − контур треугольника ABC : A(1;0), B(0;1), C (0;0).

8.Вычислите поток векторного поля F = x2i + zj + xyk через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями z = xy , x + y =1 и z =0 .

9.Найдите циркуляцию векторного поля F = xzi + z2 j + yzk по линии пересечения

полусферы z = 2x − x2 − y2 и цилиндра x2 + y2 = x .

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = y(−xi + zk ).

Вариант 6

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y = 2 − x2 , y = x2.

область V : y = x2 + z2 , y = 2.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 , z = 2x.

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ∫(x2 − y2 )dx + 2xydy ,

∫(12z −6x)dx +3z2dy +(6zy −18x)dz , где C − линия, определяемая уравнениями

C

x =3cost; y =6cost −4sint +1; z = 4sint; t [0; 2π] (в направлении,

соответствующем возрастанию параметра t ).

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его

скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a =(−z)i + xk.

область V : x2 = y2 + z2 , x =3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 = 4y, y + z = 4, y + 2z = 4.

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ∫−x2 ydx + xy2dy , где

L

L −окружность x2 + y2 = R2 .

8.Вычислите поток векторного поля F =(x + y2 )i +(y + z2 ) j +(x + z2 )k через внешнюю сторону поверхности x2 + y2 + z2 = 2z .

9.Найдите циркуляцию векторного поля F = y2i + x2 j + z2k по контуру, вырезанному координатными плоскостями из сферыx2 + y2 + z2 =1 при

x ≥0, y ≥0, z ≥0 .

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

область V : x = y2 + z2 , x =3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4,

x+ y + x = 4, z =0 .

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , где L − окружность x2 + y2 = R2 .

L

8. Вычислите поток векторного поля F = x(1−2y)i + y(1+ x) j + 2zk через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями z +(x + 2y)2 = 4, x =0,

y =0 и z =0 ( x ≥0 , y ≥0 , z ≥0 ).

9. Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)

∫(6xz + y)dx +(x + 4z)dy +(3x2 + 2z +5y)dz , где C − линия пересечения

C

эллиптического цилиндра y2 + z2 =1 с плоскостью x =3z +5y . 81

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = xz2 (2yzi + xzj +3xyk ).

Вариант 9

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y2 = 2x, x2 = 2y, x ≤1.

x2 + y2 + 2y ≤0, x ≥0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

область V : y = 2x2 + z2 , y = 2.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 , y = x2 , y =1, z =0 .

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

∫(x2 − y)dx +(x2 + y)dy, где L − контур треугольника ABC : A(1;−1), B(3;1),

L

C(1;3).

8.Вычислите поток векторного поля F =(x + 2y)i +(x −2y) j +(y +3z)k через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями x − y =0,

x+ y =0, y + z =1 и z =0 .

9.Найдите циркуляцию векторного поля F = y2i + xzj + x2k по ломаной OABCDO ,

где O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (1, 1, 0) , C (0, 1, 1), D (0, 0, 1) — вершины

единичного куба. При вычислении по теореме Стокса в качестве поверхности, опирающейся на контур, выберите часть поверхности этого куба.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его

скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a = x(yj − zk ).

Вариант 10

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x ≥0, y ≥ x, y = 9 − x2 .

D

2.Найти массу неоднородной пластины D : x =1, x = y2 , x + y = 2, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 − x − y.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x ≤0,

x2 + y2 + 2y ≥0, y ≤0,относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

3z = x2 + y2 , x2 + y2 = 4, z =0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : y = x2 + z2 , y =3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 =9, z ≥1.

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

8. Вычислите поток векторного поля F = 2zi + y3 j − xk через внешнюю сторону

границы области, ограниченной поверхностями z = 4 − x2 , y =1, y =0 и z =0 . 9. Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)

∫(y + 4z)dx +(6yz + x)dy +(3y2 + 2z +5x)dz , где C − линия пересечения

C

эллиптического цилиндра x2 + z2 =1 с плоскостью y =3z +5x . 81

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = 2xyz(yzi + xzj + xyk ).