Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g

Вариант 21

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y ≥0, y ≤1, y = x,

D

x = −4 − y2 .

8. Вычислите поток векторного поля F = x2i + yzj +(y + z)k через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями x =0, x =1, y =0, y = 2, z =0 и z =3.

9. Найдите циркуляцию векторного поля F = yi + zj + xk по контуру, являющемуся

пересечением сферы x2 + y2 + z2 = 4 и плоскости x + y + z =0.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = y(yzi + 2xzj + xyk ).

Вариант 22

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x ≤0, y =1, y = 4, y = −x.

область V : x =1− y2 − z2 , x =0.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 =6, z ≥ x2 + y2.

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

∫(x + y)dx +(x − y)dy , где L − контур прямоугольника 1≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 2.

L

8. Вычислите поток векторного поля F =(4y + x2 yz)i +(x + xy2 z) j +(xyz2 + 2)k через внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями z = x2 −4y2 ,

y =0, x = 2 и z =0 ( y ≥0 ).

9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)

∫(x + z)dx + zdy +(2x − y)dz , где C −контур треугольника с вершинами

C

A(2;0;0), B(0;2;0), C (0;0;4), который обходится в направлении ABCA.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = x(2yzi + xzj + xyk ).

Вариант 23

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y =3 − x2 , y = −x .

D

2. Найти массу неоднородной пластины D : y = x2 +1, x + y =3, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4x +5y + 2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x =0, y − x ≥0, y ≤0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V :

рону границы области, ограниченной поверхностями z = 2 −x2 + y2 , x =0, y =0 и z =0 (x ≥0, y ≥0, z ≥0).

9. Найдите циркуляцию векторного поля F = xi + zj − yk по контуру, образованному пересечением конуса (x −1)2 = y2 + z2 с координатными плоскостями

(x ≥0, y ≥0, z ≥0) .

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = xi + yj + zk.

Вариант 24

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , где L − контур прямоугольника 0 ≤ x ≤5 , 1≤ y ≤3.

L

8. Вычислите поток векторного поля F = xyi + xzj + yzk через внешнюю сторону

границы области, ограниченной поверхностями x2 + y =0, z − y =1 и z =0 . 9. Вычислить криволинейный интеграл (циркуляцию)

∫(x + y + z)dx +(y + z)dy + 2(x +3z)dz , где C −контур треугольника с вершинами

C

A(2;0;0), B(0;−3;0), C (0;0;3) , который обходится в направлении ABCA.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = x2 z(3yzi + xzj + 2xyk ).

Вариант 25

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x =0, y =0, y =1,

x = y2 + z2 , y2 + z2 =9, x =0.

x = 2cost −3sint +1,

параметрически: y =cost,

z =3sint.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его

скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a = yi − xj.

Вариант 26

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле

∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x = 9 − y2 , y ≥0, y = x .

D

2. Найти массу неоднородной пластины D : x = 2, y = x, y =3x,если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2x2 + y2.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 −2x =0, y − x ≤0, y ≥0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область V : x =0, y =0, z =0, x + y + z =3.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область V : z = 4x2 + y2 , z = 2.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z =6 − x, z =0, x2 +(y −2)2 = 4, x2 +(y −1)2 =1.

7. Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина: ∫ y2dx +(x + y)2 dy,

L

где L − контур треугольника ABC : A(1;0), B(1;1), C (0;1).

8. Вычислите поток векторного поля F = x2i +(y + 2z) j + xzk через внешнюю сто-

рону границы области, ограниченной поверхностями z = 2 −x2 + y2 , y =0 и z =0

( y ≥0 ).

C −контур, полученный при пересечении поверхности y2 = 4 − z − x с координатными плоскостями (x ≥0, y ≥0, z ≥0). Линия проходится по часовой

стрелке, если смотреть от начала координат.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = x(i + j + k )+ y(i + k )+ z(i + j ).

z = 2x2 + y2 , x2 + y2 =9, z =0.

где O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (1, 2, 0), C (0, 2, 3) , D (0, 0, 3) — вершины

прямоугольного параллелепипеда. При вычислении по теореме Стокса в качестве поверхности, опирающейся на контур, выберите часть поверхности этого параллелепипеда.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его

скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a = zj.

рону границы области, ограниченной поверхностями z = x2 + y2 и z = 4 − x2 − y2 . 9. Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)

∫2yzdx + xzdy − x2dz , где C −линия пересечения сферы x2 + y2 + z2 = 25 с

C

цилиндром x2 + y2 =9 (z >0).

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его

скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала: a = −xj.

x = 2cost,

заданному параметрически: y = 2sint,

z =1.

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a =(zey )i +(yex )k.

Вариант 30

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x ≥0, y ≥0, y =1,

z = x2 + y2 , x2 + y2 = 4, z =0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область V : z =3 − x2 − y2 , z =0.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 +1, z = 3 − x2 − y2 .

7.Вычислить непосредственно и с помощью формулы Грина:

∫(x + y)2 dx +(x − y)2 dy, где L : контур∆ABC, A(0,0), B(2,2), C (4,0).

L

8.Вычислите поток векторного поля F =(x2 + y)i +(y2 + 2z) j +(z2 +3x)k через

внешнюю сторону границы области, ограниченной поверхностями x +3z =3, x =0, y =0, y = 2 и z =0 .

9.Вычислить модуль криволинейного интеграла (циркуляцию)

∫(yz3 +3y)dx +(xz3 + 2x)dy −(z2 + 2xz)dz , где C − линия пересечения сферы

C

x2 + y2 + z2 =18 с конусом x2 + y2 = z2 (z >0).

10. Найти дивергенцию и ротор векторного поля a ; выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку потенциала:

a = xy2 (2yzi +3xzj + xyk ).