А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

I. Теория пределов. Непрерывность функций

Целая степень числа определяется как произведение этого числа само на себя: a2 = aa; a3 = a2a = aaa;....

5.Существует единственное число bОR, называемое единицей

èобозначаемое 1, такое, что а · 1 = а, aОR.

6.Для любого a, принадлежащего множеству R, a ¹ 0, существует единственное число b, принадлежащее множеству R, такое, что

1 ab = 1. Такое число называется обратным числу а и обозначается a .

Число a 1b , где b ¹ 0, называется частным от деления а на b и

a

обозначается b .

7.Справедливо равенство (a + b)c = ac + bc, a,b,cО R.

8.Множество R является упорядоченным, т.е. для любых a ¹ b, a,bО R, вводятся так называемые неравенства: либо a < b (a мень-

ше b), или, что то же самое, b > a (b больше a), либо a > b (или, что то же самое, b < a), при этом должны выполняться следующие условия:

à) a < b, b < c Þ a < c;

á) a < b, cÎR Þ a + c < b + c; â) a < b, c > 0 Þ ac < bc.

(Запись a £ b, равносильная записи b ³ a, означает, что либо a = b, либо a < b.)

Из пунктов а) и б) следует возможность сложения неравенств : если a < b и c < d, то a + c < b + c и c + b < d + b, или b + c < b + d, тогда a + c < b + d.

Из пунктов б) и в) следует так называемая плотность множества R: пусть a < b, тогда существует c ОR, такое, что a < c < b (ниже будет проверено, что, например, с = 0,5 (a + b)).

Замечание. Условиям 1–8 удовлетворяет, например, Q – множество всех рациональных чисел (см. определение 1.2).

9. Множество R является непрерывным, т.е. если X М R,Y М R – два любых непустых числовых множества, таких, что для всех элементов x О X , y ОY выполняется неравенство x £ y, то существует некоторое число a ОR, такое, что x £ a £ y, x О X , y ОY .

Определение 1.2. Множеством натуральных чисел N называется множество действительных чисел вида 1; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1;...

Множеством целых чисел Z называется множество действительных

1. Множество действительных чисел

чисел вида 0; ±1; ±2;... Числа, удовлетворяющие неравенству a > 0 ( a < 0 ), называются положительными (отрицательными). Множеством рациональных чисел называется множество действительных

чисел вида mn , где m,nО Z , n ¹ 0. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Определив 2 как положительное число, квадрат которого равен 2, и не вдаваясь в доказательство существования и единственн ости этого числа,

где дробь предполагается несократимой. Тогда n 2 = m Ю 2n2 = m2. Число 2n2 делится на 2, значит, на 2 делится число m2. Тогда m делится на 2, т.е. m2 делится на 4. Тогда и 2n2 делится на 4, т.е. n2 делится на 2. Тогда n делится

m

на 2, т.е. дробь n сократима.

Теперь проверим, что a < 0,5(a + b) < b :

a < b Þ a + a < a + b Þ 2a < a + b Þ 0,5× 2a < 0,5(a + b) Þ a < 0,5(a + b);

аналогично доказывается второе неравенство.

Числовая ось. Если рассмотреть направленную прямую (ось) и ввести на ней точку отсчета 0 и единицу масштаба, то естеств енным образом получим взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и точками этой (числовой) оси. Поэтом у множество R часто называют числовой осью (числовой прямой), а действительные числа – точками этой прямой.

Абсолютная величина (модуль) действительного числа (обозначе- ние | a |). По определению, | a | = a, если a ³ 0 и | a | = –a, если a < 0. Докажем следующие свойства модулей действительных чисе л:

| a + b |£| a | + | b |; | a - b |³| a | - | b |.

¡ a £| a |, b £| b |Þ a + b £| a | + | b |;

-a £|a |, - b £| b |Þ -(a + b) £|a | + |b |;

òàê êàê | a + b |= a + b èëè | a + b |= –(a + b) то отсюда |a + b |£|a | + |b |. Теперь, используя первое свойство, докажем и второе:

| a |=|(a - b) + b |£| a - b | + | b |Þ| a - b |³| a | - | b |. x

I.Теория пределов. Непрерывность функций

1.2.Ограниченные множества действительных чисел

Определение 1.3. Множество X М R называется ограниченным сверху, если существует такое b, принадлежащее R, что для любого x, принадлежащего множеству X, имеет место следующее утверждение: x £ b, т.е., проще говоря, все члены х множества X меньше или равны некоторому числу b. Коротко это можно записать следующим образом: $bОR : "xО X (x £ b).

Множество X М R называется ограниченным снизу, если существует такое a, принадлежащее R, что для любого x, принадлежащего множеству X, имеет место следующее утверждение: x ³ a, т.е. все члены х множества X больше или равны некоторому числу а, или $aО R : "xО X (x ³ a).

Множество Х, ограниченное сверху и снизу, называется просто

ограниченным.

Определение 1.4. Пусть множество Х ограничено сверху. Наименьшее из чисел, ограничивающих Х сверху, называется верхней гранью

множества Х и обозначается sup X = sup x.

x X

Аналогично: пусть множество Х ограничено снизу. Наибольшее из чисел, ограничивающих Х снизу, называется нижней гранью мно-

жества Х и обозначается inf X = inf x.

x X

Если верхнюю грань множества Х уменьшить, то она уже не будет ограничивать Х сверху; если нижнюю грань множества Х увеличить, то она уже не будет ограничивать Х снизу. Поэтому определение 1.4. равносильно следующему определению.

Определение 1.5.

Число b называется верхней гранью множества (b = sup X), если выполняются условия:

а) "xО X верно неравенство: x £ b;

б) какое бы положительное число ε мы ни взяли, существует такое число x О X , что x > b - e. Или "e > 0 $x О X : x > b - e.

Число а называется нижней гранью множества (а = inf X), если выполняются условия:

а) "xО X всегда верно неравенство: x ³ a;

б) какое бы положительное число ε мы ни взяли, существует такое число x О X , что x < a + e. Или "e > 0 $x О X : x < a + e.

16

1. Множество действительных чисел

Теорема 1.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

¡ Пусть А ограничено сверху, A ¹ Ж (т.е. А не является пустым множеством), В – множество всех чисел, ограничивающих А сверху, следовательно, при "aО A, "bОB всегда будет верно следующее утверждение: a £ b. Тогда по свойству непрерывности множества R существует такое с, что a £ c £ b, aО A, bОB. Но это и означает, что с ограничивает А сверху (c ³ a ) и является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих А сверху ( c £ b ). Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. x

Определение 1.6. Система числовых отрезков [an, bn] , an ÎR, bn R, n = 1, 2, 3,... называется системой вложенных отрезков, если

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 (ðèñ. 1).

(рис. 2), m, nОN. Тогда по свойству непрерывности множества R существует такое c ОR, что выполняется неравенство am ≤ c ≤ bn, m,nОN, в частности, an £ c £ bn, n ОN, что и доказывает теорему. x

Замечание. Для всякой системы вложенных отрезков, по длине стремящихся к 0, общая точка единственна. (Длины bn – an отрезков [an, bn] называются стремящимися к 0, если для каждого e существует такой номер N, что длины всех отрезков с номерами, большими N, становятся меньше, чем e .)

17

I.Теория пределов. Непрерывность функций

¡Пусть с1 è ñ2 – две общие точки и с1 ¹ ñ2, тогда длина любого отрезка системы будет не меньше, чем |с2 – ñ1|, что противоречит условию стремления к 0 длин отрезков. x

1.3.Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

Метод математической индукции. Этот метод состоит в следующем: для того чтобы доказать, что некоторое утверждение сп раведливо для " nОN, достаточно доказать, что:

а) это утверждение справедливо для n = 1;

б) если предположить, что данное утверждение справедливо для некоторого номера nО N, то отсюда будет следовать справедливость утверждения и для номера (n + 1).

(Утверждение верно для n =1Ю оно верно для n = 2 Ю оно верно для n = 3 Ю ... Ю утверждение верно для " nО N, так как, по определению, каждое натуральное число получается из 1 после довательным переходом от предыдущего натурального числа к по следующему.)

Пусть теперь задано некоторое конечное множество элемен тов. Определение 1.7. Рассмотрим n элементов. Группы всех этих элементов, отличающиеся друг от друга только порядком, на зываются перестановками элементов. Число всех перестановок из n эле-

ментов обозначается Pn .

¡ Используем метод математической индукции: а) P1 = 1! = 1 – верно;

б) пусть формула верна для номера n : Pn = n! Þ Pn+1 будет равно числу способов, которыми можно выбрать первый элемент, умноженному на число способов, которыми после этого можно р асста-

вить остальные элементы, т.е. Pn+1 = (n + 1) Pn = (n + 1) n! = (n + 1)! Ю формула верна для номера (n + 1). x

Определение 1.8. Рассмотрим n элементов. Группы из этих элементов, содержащие m элементов каждая, называются сочетаниями из n элементов по m (порядок элементов в каждой группе при этом не имеет значения). Число всех сочетаний из n элементов по m обозначается Cnm.

1. Множество действительных чисел

Так как каждой выбранной группе из m элементов соответствует оставшаяся группа из n – m элементов, то Cnm = Cnn−m. Положим также, что Cn0 = 1.

Теорема 1.4. Число сочетаний из n элементов по m равно

можно получить так: выбираем первые m элементов, это можно сделать Cnm способами. При каждом таком способе существуют Pm вариантов расположения первых m элементов, а при каждом таком варианте существуют Pn−m вариантов расположения остальных n – m элементов. x

Следствие. Из теоремы 1.4. имеем

= n(n − 1)...(n − m + 1) . m!

Теорема 1.5 (формула бинома Ньютона). Для " nО N

n

(a + b)n = åCnkan−kbk = an +Cn1an−1b +Cn2an−2b2 + ... +Cnn−1abn−1 + bn. (1.3)

k=0

¡Представим выражение (a + b)n как произведение n сомножителей: (a + b)(a + b)...(a + b). При перемножении из каждой скобки берем либо а, либо b; например, при n = 3 будем иметь

(a + b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb =

=a3 + a2b + a2b + ab2 + a2b + ab2 + ab2 + b3.

Âитоге получаются члены вида an−kbk , k = 0,1,2,...,n c коэффициентами 1 при каждом члене. При приведении подобных членов коэ ф-

фициент при an−kbk будет равен числу таких членов, т.е. числу способов, которыми из n скобок мы можем выбрать k раз b, т.е. Cnk . x

I. Теория пределов. Непрерывность функций

1.4. Функции

Определение 1.9. Пусть X и Y – два произвольных множества. Если каждому элементу x X поставлен в соответствие один элемент y Y, обозначаемый f (x), и если каждый элемент y Y при этом оказывается поставленным в соответствие хотя бы одному элементу х Х, то такое соответствие называется функцией и обозначается y = f (x). Множество

Х называется областью определения функции, а множество Y – областью ее значений. Элемент y называется образом элемента х, а элемент х – прообразом элемента y (прообраз может быть и не один).

Примеры функций:

1)X R, Y R, т.е. X и Y – некоторые множества действительных чисел; это так называемые действительные функции действи тельного переменного; чаще всего мы будем рассматривать именно их;

2)Х – некоторое множество точек плоскости 0ху, Y R; это так называемые функции двух переменных (название определяется тем, что каждая точка плоскости задается двумя координатами);

3)X, Y – некоторые множества комплексных чисел; это так называемые функции комплексного переменного;

4)X = N, Y R – такая функция называется последовательностью. Определение 1.10. Пусть задана функция y = f (x) c областью оп-

ределения Х и областью значенийY. Пусть для y Y существует только один прообраз х Х. Обозначим этот прообраз f –1(y). Тогда функция, определенная на Y и ставящая в соответствие y Y его прообраз x = f –1(y), называется обратной функцией к f и обозначается f –1.

Определение 1.11. Пусть заданы функции y = ϕ(x) è z = f (y), и область определения функции f содержит область значений функции ϕ . Тогда x X из области определения функции ϕ соответствует некоторый элемент y = ϕ(x) , а этому y соответствует некоторый элемент z = f (y). Таким образом, x из области определения функции ϕ соответствует один элемент z. Такое соответствие, или функция, называется сложной функцией или суперпозицией функций ϕ и f и обознача- ется z = f (ϕ(x)).

Далее будем рассматривать такие функции, что X R , Y R, и под словом «функция» (если не оговаривается что-либо другое) п одразумевать именно их.

2. Предел последовательности и предел функции

Определение 1.12. Основными элементарными функциями называ-

ются функции y = c, y = xα, y = ax , y = loga x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctgx, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx, y = arcctgx.

Определение 1.13. Всякая функция, которая может быть явным способом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечн ое число арифметических операций и суперпозиций основных элем ентарных функций, называется элементарной.

Арифметические операции над функциями определяются как соответствующие арифметические операции над значениями ф ункции при каждом х; например, f (x) + g (x) – это функция, которая каждому элементу x ставит в соответствие элемент y = f (x) + g (x).

Среди элементарных функций выделим:

∙ многочлены, т.е. функции вида Pn(x) = a0xn + a1xn−1 + ... + an, a0 ¹ 0. Число n называется степенью многочлена. Многочлены первой степе-

íè y = ax + b называются также линейными функциями;

∙ рациональные функции (рациональные дроби), т.е. функции вида y = QP((xx)), где P (x) и Q (x) – многочлены. Рациональная дробь называ-

ется правильной, если степень числителяP (x) меньше степени знаменателя Q(x).

2.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ÈПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.1.Определение предела последовательности

èпредела функции

Определение 2.1. Число а называется пределом последовательнос-

òè {xn} (обозначение: lim xn = a ), если для каждого ε > 0 существует но-

n→∞

мер N, зависящий от e , такой, что для всех номеров n > N будет выполняться неравенство | xn − a |< ε . Или в краткой записи:

lim xn = a ε > 0 N = N (ε): n > N (| xn − a |< ε).

n→∞

Смысл этого определения в том, что члены последовательнос тиx{n} сколь угодно близки к пределу а, т.е. отличаются от него меньше, чем

2. Предел последовательности и предел функции

Все последовательности трех таких типов называются бесконечно большими.

Определение 2.5 (определение предела функции в точке по Коши). Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестно-

o

сти U (a) . Тогда

0

lim f (x) = b ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x U (a,δ) ( f (x) U (b,ε)).

x→a

Èëè

ε > 0 δ = δ(ε): x,0 <| x − a |< δ (| f (x)− b |< ε)

(в этом определении x приближается к а, но не равен а).

Смысл этого определения состоит в том, что значения функц ии f (x) сколь угодно близки к пределу b, т.е. отличаются от него меньше, чем на любое наперед заданное число ε , если х достаточно близок к а, т.е. отличается от него меньше, чем на некоторое число

δ = δ(ε).

Согласно определению при a − δ < x < a + δ график функции (рис. 3) лежит в полосе b − ε < y < b + ε. При определении δ отрезки [c, a] и [a, d], как правило, не равны друг другу. Чтобы не выйти за пределы полосы ( b − ε,b + ε ), надо исходить из ближайшего к а края отрезков с или d (из наименьшего из этих отрезков). При уменьшении ε соответственно уменьшается и δ .

y b + e

b b - e

c a - d a d =a + d x

Ðèñ. 3

Пример. Доказать, что lim10|x| = 1.

x→0

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проверим, что "e > 0 $ d = d (e) : " x, 0 < | x | < d ( | 10|x | – 1| < e). Òàê êàê 10|x | – 1 > 0, то имеем, что

23

I. Теория пределов. Непрерывность функций

10|x| − 1 < ε 10|x| < 1+ ε | x |< lg(1 + ε).

Отсюда ясно, что в качестве δ можно взять любое число, такое, что δ ≤ lg(1+ ε). Тогда, если | x |< δ, à δ ≤ lg(1+ ε), òî | x |< lg(1+ ε).

Обобщим определения предела функции на случай бесконечн ыха или b.

Определение 2.6. По аналогии с определением 2.5 запишем:

lim f (x) = b ε > 0 M = M(ε) > 0: x > M (| f (x) − b |< ε);

x→+∞

lim f (x) = ∞ M > 0 δ = δ(M ) > 0: x, 0 <| x −a |< δ (| f (x)|> M ).

x→a

Такие функции называются бесконечно большими при x → a;

lim f (x) = +∞ M > 0 N = N(M) < 0: x < N (f (x) > M ) è ò.ä.

x→−∞

Односторонние пределы. Если f (x) стремится к пределу b при x ® a только с одной стороны (справа ( x > a ) или слева ( x < a )), то b называется пределом функции f (x) в точке а справа или слева и обозначается:

Если существует lim f (x) = b, тосуществуети f (a + 0) = f (a - 0) = b.

x→a

Однако из существования обоих односторонних пределов f (a + 0) = b1 è f (a − 0) = b2 существование предела функции f (x) в точке а следует только при b1 = b2. То есть функция имеет предел в некоторой точке тогда, и только тогда, когда ее односторонние пределы в это й точке совпадают.

2. Предел последовательности и предел функции

Далее в силу однотипности построения теории пределов пос ледовательностей и функций эти теории излагаются параллельн о.

Единственность предела последовательности и функции

Теорема 2.1. Последовательность (функция) не может иметь более одного предела.

щиеся окрестности U (a1) è U (a2). Согласно определению 2.3 $ N1:

"n > N1 ( xn U (a1) ) è $ N2: "n > N2 ( xn U (a2) ) Þ "n > max(N1,N2)

( xn U (a1) è xn U (a2) ).

Это означает, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера N1, попадут в изображенную на чертеже окрестность точ- ки a1, а с некоторого номера N2 попадут в изображенную на чертеже окрестность точки a2 (рис. 5). Тогда, начиная с большего из этих номеров, все члены последовательности должны попасть в обе ок рестности сразу, чего не может быть.

Ограниченность последовательностей и функций, имеющих конечный предел

Определение 2.7. Последовательность {хn} называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений является ограниченным сверху (снизу). Функция y = f (x) называется ограниченной сверху (сни-