А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

5. Дифференциальные уравнения

Как было показано там же, характеристическое уравнение дл я соответствующего (15.29) однородного уравнения имеет вид Φ(k + α) = 0 ,

Значит, 0 является корнем характеристического уравнения ( 15.30) кратности r, и в соответствии с п. а, частное решение (15.29) можно искать в виде u = xrQk (x), ãäå Qk (x) – многочлен степени k с неопределенными коэффициентами. Отсюда частное решение (15.26) можно искать в виде

Подставляя функцию (15.31) в уравнение (15.26) и сокращая это уравнение на eαx , получим тождественное равенство (на R) двух многочленов степени k. Необходимым и достаточным условием такого равенства является совпадение коэффициентов этих многочл енов при одинаковых степенях x. Приравнивая эти коэффициенты, получим систему ( k +1) уравнений с ( k +1) неизвестными, которая, как можно доказать, всегда имеет единственное решение.

Таким образом, если f (x) = Pk (x)eαx , то частное решение неоднородного уравнения (15.26) ищется по формуле (15.31), в которой Qk (x) – многочлен степени k с неопределенными коэффициентами, r кр атность α как корня характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (15.27), или сколько раз α , взятое из правой части уравнения (15.26), встречается среди корней характеристического уравнения.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y¢¢ + y¢ - 2y = (6x - 1)ex . Ð å ø å í è å

Характеристическое уравнение для соответствующего одно родно-

перь ищем частное решение исходного уравнения: a = 1 , r = 1 , k = 1 и y = x(Ax + B)ex = (Ax2 + Bx)ex .

Находим производные этой функции и подставляем в исходно е уравнение (для удобства записи опускаем символ *):

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

y¢ = (2Ax + B)ex + (Ax2 + Bx)ex = (Ax2 + (2 A + B)x + B)ex ;

y¢¢ = (2Ax + 2A + B)ex + (Ax2 +(2A + B)x + B)ex = ( Ax2 +(4 A + B) x + 2 A + 2B)ex;

(Ax2 + (4A + B)x + 2A + 2B)ex + (Ax2 + (2A + B)x + B)ex - 2( Ax2 + Bx)ex = = (6x -1)ex ;

Ax2 + 4Ax + Bx + 2A + 2B + Ax2 + 2Ax + Bx + B - 2Ax2 - 2Bx = 6x -1;

6Ax + 2A + 3B = 6x -1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в лево й и правой частях этой формулы, имеем

x1 : ì6A = 6;

x0 : íî2A + 3B = -1.

Из этой системы A = 1; 3B = -1- 2 = -3; B = -1. В итоге,

гочлены степени k и m соответственно с действительными коэффициентами (это обобщение случая 1, который получается отсюда п риβ = 0 ).

Покажем, что в этом случае частное решение неоднородного уравнения (15.26) следует искать по формуле

ãäå Rl (x) è Tl (x) – многочлены степени l с неопределенными (действительными) коэффициентами, l = max{k,m}, r – кратность (α + iβ) как корня характеристического уравнения для соответствующе го однородного уравнения (15.27), или сколько раз (a + ib), взятое из правой части уравнения (15.26), встречается среди корней характеристического уравнения .

Для этого заменим в функции f (x) cosβx и sinbx на их выражения через показательные функции:

5. Дифференциальные уравнения

F(x); оба многочлена (с комплексными коэффициентами) F(x) и F(x) имеют степень l. Отсюда

К этой правой части применимы рассуждения разд. 15.5 и п. 1 этого раздела (они справедливы и для комплексных коэффициен тов многочленов и показателей степеней числа e).

В соответствии с теоремой 15.5 частное решение уравнения L(y) = f (x) , где f(x) – задана формулой (15.33), есть сумма частных решений двух уравнений:

L(y) = F (x)e(α+iβ)x è L(y)= F (x)e(α−iβ)x.

Пусть y1 – частное решение первого из них, т.е.

Применим к обеим частям этого равенства операцию сопряже ния. Учитывая действительность коэффициентов ai , òî, ÷òî z1 + z2 = z1 + z2 , z1z2 = z1 × z2, а значит,

e(α+iβ)x = eαx × eiβx = eαx (cosbx + i sinbx) =

= eαx (cosbx - i sinbx) = eαx ×e−iβx = e(α−iβ)x

è

ò. å. y1 является частным решением второго из этих уравнений.

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Согласно выводам п. 1, y1 следует искать в виде y1 = xrUl (x)e(α+iβ)x , ãäå Ul (x) – многочлен степени l, r – кратность ( a + ib ) как корня характеристического уравнения для соответствующего однор одного уравнения (15.27). Тогда

y1 = xrU l (x )e(α+iβ)x = xrU l (x )e(α – iβ)x,

èчастное решение уравнения L(y) = f (x) с правой частью (15.33) следует искать в виде

y*= y1 + y1 =xrU l (x)e(α+iβ)x +xrU l (x)e(α – iβ)x =

= xrUl (x)eαx(cosbx +i sinbx) + xrU l (x)e αx(cosbx -i sinbx ) =

= xreαx éë(Ul (x) +Ul (x))cosbx + i((Ul (x) -Ul (x))sinbxùû. (15.34) Пусть

оба этих многочлена имеют действительные коэффициенты и степени, не превышающие l, причем степень хотя бы одного из этих много- членов равна l (есëи в обоих мноãîчленах x в старшей степени l ñîêðà-

т.е. формулу (15.32).

5. Дифференциальные уравнения

При подстановке решения вида (15.32) в уравнение (15.26) после сокращения на eαx получаем тождественное равенство (на R) двух функций. Приравнивая коэффициенты при xi cosβx è x j sinβx в обеих ча- стях этого равенства (такие функции линейно независимы), п олучаем систему уравнений, из которой единственным образом наход им коэффициенты многочленов Rl (x) è Tl (x).

Пример. Решить диффененциальное уравнение y¢¢¢ + y¢ = sin2x . Р е ш е н и е

Соответствующее однородное уравнение y¢¢¢ + y¢ = 0 . Его характеристическое уравнение имеет вид k3 + k = 0 , èëè k(k2 + 1) = 0 . Отсюда k1 = 0 è k2,3 = ±i . Общее решение исходного уравнения: y = c1 + c2 cos x + c3 sin x .

Частное решение исходного уравнения: Pk (x) = 0 , Qm(x) = 1, k = m = 0 ; a = 0 , b = 2 , a + bi = 2i ; это число не является корнем характеристическо-

го уравнения, поэтому r = 0 и y = A cos2x + B sin 2x . Отсюда (символ * для удобства записи опускаем)

y¢ = -2Asin2x + 2B cos2x , y¢¢ = -4Acos2x - 4B sin2x , y¢¢¢ = 8Asin2x - 8B cos2x.

Подставляем в исходное уравнение:

8Asin2x - 8B cos2x - 2Asin2x + 2B cos2x = sin2x; 6Asin2x - 6B cos2x = sin2x.

Этот пример еще раз подтверждает, что независимо от налич ия в правой части линейного дифференциального уравнения обе их функций – cosβx è sinβx или только одной из них, в решении вида (15.32)

должны присутствовать обе эти функции.

Замечание. Если правая часть уравнения (15.26) является суммой двух или большего числа функций специального вида, то для нахо ждения частного решения этого уравнения удобно использовать упомян утую выше теорему 15.5.

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

15.7. Метод вариации произвольных постоянных

Теперь вернемся к общему виду линейного неоднородного ди фференциального уравнения. Пусть

а неоднородное и соответствующее однородное уравнения и меют вид

общее решение уравнения (15.36) ( y1, y2,..., yn – фундаментальная система решений этого уравнения), а y – частное решение уравнения (15.35).

Метод вариации произвольных постоянных заключается в на хождении y по той же формуле (15.38), считая, что в ней коэффициенты ci являются функциями x : ci = ci (x), i = 1, 2,..., n.

При подстановке такой функции в уравнение (15.35) получим одн о уравнение с n неизвестными: c1,c2,...,cn . Остальные n −1 уравнения мы допишем наиболее удобным для нас способом. Имеем

5. Дифференциальные уравнения

Последнее n-е уравнение получается после подстановки всех этих функций в формулу (15.35). Для этого надо умножить последнее из равенств (15.39) на 1, предпоследнее – на p1(x), ..., второе – на pn−1(x), первое – на pn(x) (все эти множители приведены в столбце слева) и все полученные новые равенства сложить. Собрав вместе члены с c1,c2,...,cn , получим

L(y) = c1L(y1) + c2L(y2) +...+ cn L(yn ) +

го), равны 0, а правая часть последнего уравнения равна f (x). Определитель системы (15.42) есть определитель Вронского W (x)

функций y1, y2,..., yn , который отличен от 0 во всех точках интервала (a, b), так как функции y1, y2,..., yn линейно независимы на этом интервале. Значит, система (15.42) имеет единственное решение c1¢ = c1¢(x), c2¢ = c2¢ (x),..., cn¢ = cn¢ (x).

308

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Первообразные для этих функций и являются нужными нам коэффициентами в формуле (15.38).

Пример. Решить дифференциальное уравнение y¢¢¢ + 3y¢¢ + 2y¢ = ex1+1. Ð å ø å í è å

Соответствующее однородное уравнение имеет вид y¢¢¢ + 3y¢¢ + 2y¢ = 0 . Характеристическое уравнение для этого дифференциально го уравнения

k3 + 3k2 + 2k = 0 имеет корни k1 = 0 , k2 = -1 , k3 = -2 , а общее решение однородного уравнения – y = c1 + c2e− x + c3e−2x .

Теперь ищем частное решение y исходного уравнения по той же формуле, считая, что в ней ci = ci (x) , i = 1, 2, 3 . Система (15.42) в данном примере выглядит так:

Теперь находим сами коэффициенты ci (x) (при нахождении первообразных произвольные постоянные не пишем, так как определя ем лишь одно частное решение неоднородного уравнения):

309

прогрессии).

Укажем ряд свойств числовых рядов.

Пусть дан ряд

∞

åan. (16.1)

n=1

Рассмотрим ряд, полученный из ряда (16.1) путем отбрасывания конечного числа его первых членов:

n=k+1

Ряд (16.2) называется остатком ряда (16.1) после k-го члена.

Теорема 16.1. Ряды (16.1) и (16.2) сходятся или расходятся одновременно (т.е. сходимость ряда не зависит от поведения коне чного числа его первых членов).

¡ Пусть, как обычно, Sn – n-я частичная сумма ряда (16.1), sn – n-я частичная сумма ряда (16.2). Тогда при n > k

В этой формуле k – число фиксированное, т.е. Sk – постоянная величина. Если теперь устремить n к бесконечности, то существование

конечного lim Sn (т.е. сходимость ряда (16.1)) равносильно существо-

n→∞

ванию конечного lim sn−k = lim sn (т.е. сходимости ряда (16.2)). x

n→∞ n→∞

Теорема 16.2. Пусть ряд (16.1) сходится и S – его сумма. Сумму (сходящегося) ряда (16.2) обозначим Rk. Тогда сумму ряда можно представить в виде суммыk-й частичной суммы ряда и суммы остатка после k-го члена.

¡ Переходя в обеих частях формулы (16.3) к пределу при n ® ¥ , имеем

В силу этого равенства определение сходимости ряда можно запи-

∞

ñàòü òàê: ðÿä åan сходится, если

n=1

16. Числовые ряды

является достаточным.

16. Числовые ряды

Теорема 16.6 (сравнения в предельной форме). Пусть даны ряды с

K= 0 из сходимости ряда (16.4) следует сходимость ряда (16.1), а при

K= ¥ из расходимости ряда (16.4) следует расходимость ряда (16.1).

¡Пусть ряд (16.4) сходится. Так как lim an = K, то для достаточно

следует сходимость ряда (16.4), а значит, из расходимости ряда (16.4)

следует расходимость ряда (16.1) (доказательство методом от противного: если бы (16.1) сходился, то по уже доказанному сходился бы и (16.4), что не так). x

6. Ðÿäû

Теорема 16.7 (признак Коши). Пусть дан ряд с неотрицательными

∞

членами åan (16.1) и пусть существует (конечный или бесконечный)

n=1

Òàê êàê lim n an = l , то $N :"n > N все члены последовательности

n→∞

{n an } попадут в изображенную на рис. 82 окрестность точки l, значит,

∞

"n > N (n an < q ) Þ an < qn . Ðÿä åqn сходится (это геометрическая

n=1

прогрессия со знаменателем q, 0 < q < 1), следовательно (см. замечание к теореме 16.5), ряд (16.1) сходится.

Пусть l > 1; начиная с некоторого номера n an > 1Þ an > 1Þ

Теорема 16.8 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с неотрицатель-

∞

ными членами åan (16.1) и пусть существует (конечный или беско-

n=1

нечный) lim an+1 = l. Тогда при l < 1 ряд (16.1) сходится, а при l > 1 ряд

n→∞ an

(16.1) расходится.

¡ Пусть l < 1 . Возьмем такое же произвольное число q О(l, 1) , êàê

при доказательстве теоремы 16.7 (см. рис. 82). Так как lim an+1 = l, òî

n→∞ an

16. Числовые ряды