Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

.pdf

Скачиваний:

678

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2726 27 > Следующая >>>

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

ϕ=π−ψ

e−λR sin(π−ψ)dy =

e−λR sinψdy,

e−λR sinϕdj =

–

dϕ=−dψ

то из (22.54) следует, что

g(z)eiλzdz

£ 2M (R)×R ò2e −λR sinϕd j.

(22.55)

(CR )

sinj

pù

Далее рассмотрим дробь

, jÎç

ú . Ïðè j = 0

числитель и

2û

знаменатель этой дроби равны. При увеличении j знаменатель возра-

стает быстрее числителя, так как j¢ = 1, а (sinj)¢ = cosj < 1, т. е. при уве-

личении j дробь уменьшается и будет наименьшей при j = p

. Значит,

sinj

pù

. Тогда при

j Î ê0,

sin j ³

j Þ - sinj £ -

è èç

2û

(22.55) имеем

ò g(z)eiλzdz

−

2λRϕ

£ 2M (R)×R òe

π d j =

(CR )

2λR

= 2M(R) × R

e−

2 = pM(R)

-e−λR ) £ pM (R)

-2lR

так как при l > 0 выполняется неравенство e−λR <1. Таким образом,

		λ			pM (R)
	ò g(z)ei		zdz	£	l	.	(22.56)
	(CR )
Так как lim M (R) = 0 , то из (22.56) следует формула (22.53). x
R→∞
Теорема 22.18. Если σ – сумма вычетов функции T (z)eiλz â åå îñî-
бых точках из верхней полуплоскости, то
∞		∞
ò T (x)coslxdx = Re(2pis),		ò T (x)sinlxdx = Im(2pis),					(22.57)
−∞		−∞
498

22. Элементы теории функций комплексного переменного

¡ Рассмотрим ò T (z)eiλzdz , ãäå				y
	Pm(z)	(L)
T(z) =	Pm(z)	– правильная рацио-
T(z) =		– правильная рацио-
Q (z)
	n
нальная дробь (т.е. n > m ), знамена-
тель которой не имеет действительных			–R	0	R x
корней, l > 0 и (L) – тот же контур,				Ðèñ. 164
что в п. 1 (рис. 164). Этот контур со-

стоит из отрезка [-R,R] и полуокружности (CR ) : z =R, Im z ³ 0, где R столь велико, что все особые точки T(z) (нули ее знаменателя) из верхней полуплоскости находятся внутри (L).

Согласно основной теореме 22.16

	R	ò T (z )eiλzdz = 2pi s,
ò T(z)eiλzdz = ò T (x)eiλxdx +		ò T (z )eiλzdz = 2pi s,	(22.58)
(L)	−R	(CR )

где s – сумма вычетов функции T(z)eiλz в ее особых точках из верхней полуплоскости.

Перейдем в формуле (22.58) к пределу при R ® ¥ . При этом из оценки (22.52) при n > m следует, что

M (R) = max	T (z)	= max		Pm(z)


z (CR )		z (CR )	Q		(z)

				n

значит, согласно лемме Жордана	lim	ò	T
	R→∞	ò
мулы (22.58) при R ® ¥ следует, что		(CR )
мулы (22.58) при R ® ¥ следует, что

® 0 ïðè R ® ¥ ,

(z)eiλzdz = 0, и тогда из фор-

	∞
	ò T(x)eiλxdx = 2pis.		(22.59)
Òàê êàê	−∞
Òàê êàê
∞	∞	∞
ò T (x)eiλxdx = ò T (x)coslxdx + i ò T (x)sin lxdx,
−∞	−∞	−∞

то, приравнивая действительные и мнимые части обеих сторо н равенства (22.59), получаем формулы (22.57). x

Замечание. Из доказательства теоремы 22.18 видно, что в левой части формулы (22.59), а значит, и в левых частях формул (22.57) несобствен ные интегралы понимаются в смысле главного значения.

499

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

∞

xsin x

Пример. Вычислить интеграл

dx.

−∞ x

+ 4

Ð å ø å í è å

∞

xsin x

zeiz

(22.47)

(ze )|z =2i

dx = Im

2piRes

Im 2pi

+ 4

z =2i

−∞ x

+ 4)'|z=2i ú

zeiz

|z =2i

−

= Im

2pi

Im épie

2 ù

2π

3. Рассмотрим теперь ò R(sin x,cos x)dx, где R(x,y) – рациональ-

ная функция двух переменных. Сделаем в этом интеграле зам енуz = eix,

при которой

=1, sin x =

eix - e−ix

z - z

z2 -1

cos x =

eix + e−ix

2iz

z + z

z2 +1

, dz

= ieixdx = izdx Þ dx = dz

. Тогда

2π

æ z2 -1

z2 +1

ò R(sin x,cos x)dx = ò

dz = ò

F(z)dz,

(22.60)

|z|=1

2iz

øiz

|z|=1

æ z2 -1

z2 + 1

ãäå F (z) = R ç

– рациональная функция z. Интеграл в

2iz

ø iz

правой части формулы (22.60) вычисляется с помощью основной т еоремы о вычетах.

2π

Пример. Вычислить интеграл

5 + 4cosx

Ð å ø å í è å

2π

I = ò

= ò

= -i

+ 4cosx

5 + 4

+ 5z + 2

|z|=1iz ç

|z|=1

Особые точки подынтегральной функции – это решения уравнения

2z2 + 5z + 2 = 0 , ò.å. z1 = -2 è z2 = - 12 . Из этих точек лишь z2 находится внутри контура интегрирования, поэтому

23. Основы операционного исчисления

		1	(22.47)		1				2p.
			(22.47)
I = -i × 2pi Res			=	2p				=
I = -i × 2pi Res		2z2 + 5z + 2	=	2p	4z +5			=
z=−	1					z =−	1		3
z=−	2					z =−	2
	2						2

23. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

23.1. Оригинал и его изображение

Определение 23.1. Оригиналом называется любая комплекснознач- ная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая следующим условиям:

1)функция f (t) определена на всей прямой и f (t) = 0 ïðè t < 0;

2)функция f (t) вместе со своими производными до некоторого (достаточно высокого) порядка кусочно-непрерывна, т.е. фун кция и ее производные могут иметь только разрывы первого рода в кон ечном числе в любом конечном интервале;

3)функция f (t) возрастает не быстрее показательной функции,

т.е. существуют числа M > 0 и s ³ 0, такие, что для всех t	f (t)	< Mes0t;
т.е. существуют числа M > 0 и s ³ 0, такие, что для всех t	f (t)	< Mes0t;
0

при этом число s0 называется показателем роста функции f (t) . Определение 23.2.Пустьфункция f (t) являетсяоригиналом. Изобра-

жением этойфункции(илиеепреобразованиемЛапласа)называетсяфункциякомплексногопеременного p = s + iσ ,определяемаясоотношением

+∞
F (p) = ò f (t)e− ptdt.	(23.1)
0

Формулу (23.1) также будем запи-

сывать в виде f (t) ÷ F (p) .

Теорема 23.1. Изображение F (p)

определено при Re p = s > s0

(ò.å. ïðè

этом условии несобственный интеграл

в формуле (23.1) сходится) и является в

этой области аналитической функцией

(ðèñ. 165).

¡ Аналогично оценкам интеграла в

действительной области имеем

+¥

F ( p)

ò f (t)e–ptdt

£ ò

f (t)

e–pt

dt£ òMes0 t

s0 s

Ðèñ. 165

e–st e–ist dt=

500

501

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

+∞	+∞	M	e(s0−s)t \|0+∞ =	M
= ò Mes0t e− stdt = M ò e(s0−s)t dt =
		s0 - s		s - s0
0	0

(последнее равенство справедливо, так как s0 − s < 0 ), что и дает сходимость (даже абсолютную) интеграла в правой части формулы ( 23.1).

Для доказательства аналитичности F (p) в полуплоскости Re p > s0 нужно показать, что для каждого p из этой полуплоскости F ¢(p) существует:

+¥

ö'

+¥

(f (t)e

+¥

dt. (23.2)

F ¢( p)=ç

ò f (t)e

dt ÷

)p dt= –

òtf (t)e

–pt

–pt '

–pt

ø p

Последний интеграл сходится, так как аналогично предыдущ ей

оценке при s ³ c > s0

+¥

– òtf (t)e–ptdt

£ òt

f (t)

e–st

e–i st

dt£ ò t Mes0 te–ctdt=M òt e(s0 – c)t dt=

+∞

−

c)t

−

+∞

−

ò tde(s0

ête(s0

c)t |0

- ò

e(s0

c)tdt

ú =

s - c

- c

lim

e(s0

−

c)t |

+∞ù

правило

- c

(c−s

- c

t→+∞ e

Лопиталя

ê lim

ú =

ê0

ú =

- c

−

s0)t (c - s

)

- c

s - c

(c - s )2

t→+∞ e(c

На самом деле, согласно признаку Вейерштрасса для несобст венных интегралов, проведенная выкладка дает даже равномерн ую поp в области Re p = s ³ c > s0 сходимость интеграла в правой части формулы (23.2), что, как и для действительного переменного, является об основаниемвозможностидифференцированияинтегралапопара метруp, использованного в формуле (23.2). x

Замечание. Из полученной в ходе доказательства этой теоремы оценки

F (p)	≤	M	(23.3)
		M
		s − s
		s − s
		0

502

23. Основы операционного исчисления

следует также, что
	lim	F (p) = 0.					(23.4)
	Re p→+∞
Пример. Найти изображение так называемой единичной функции
	h(t) =íì
	1 ïðè t> 0;
	î0 ïðè t< 0.
	Ð å ø å í è å
	+∞	+∞				+∞
		1				+∞
		1
По определению F ( p )= ò η(t )e –pt dt= òe –pt dt= –				e	–pt		. Ïðè p = s +
			p	e		0	. Ïðè p = s +
						0
	0	0
+ i σ è s > 0 lim e− pt	= lim e−ste−iσt	= 0, так как под знаком предела стоит
t→+∞	t→+∞

произведение бесконечно малой при t → +∞ функции e− st на ограничен-

ную функцию e−iσt (	e–i σt	=1) . Отсюда η(t) ÷	1	.
			1

			p
			p

Схема применения операционного исчисления состоит в сле дующем: перейдя от данных функций к их изображениям, совершают соответствующие (более простые) операции над полученными и зображениями и находят изображение искомой функции. Затем по най денному изображению искомой функции находят оригинал – решени е исходной задачи.

Теорема 23.2 (обращения). Пусть F (p) – аналитическая функция

в полуплоскости Re p > s0 (ãäå s0 > 0 – некоторое число), такая, что для
									c+i∞
любого c > s0 взятый вдоль вертикальной прямой интеграл									ò F (p)dp,
									c−i∞
понимаемый в смысле главного значения, абсолютно сходится, и
lim M(R)= lim			max		F (p)		= 0. Тогда F (p) является изображе-
lim M(R)= lim			max		F (p)		= 0. Тогда F (p) является изображе-
R®¥	R ®¥	p	= R, Re p ³ c
нием функции
				1				c+i∞
				f (t) =				ò F (p)eptdp	(23.5)
				f (t) =		2pi		ò F (p)eptdp	(23.5)
								c−i∞

(здесь интеграл также понимается в смысле главного значе ния). ¡ Сначала в (23.5) преобразуем интеграл при p = c + is:

c+i∞	∞	∞
ò	F (p)eptdp = ò F (c + is)ecteiσtids = iect	ò F (c + is)eiσtds.	(23.6)
c−i∞	−∞	−∞
			503

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Последний интеграл согласно признаку Вейерштрасса равн омерно

сходится по t, так как F (c+i s)ei σt = F (c+i s) , а интеграл

∞

ò F (c + is) ds сходится по условию теоремы.

−∞

Теперь найдем изображение функции (23.5) в произвольной фиксированной точке p0: Re p0 > c , и докажем, что оно действительно равно F(p0). Имеем

+∞	1	+∞	éc+i∞			ù
ò f (t)e− p0tdt =		ò e− p0t ê		ò		F (p)e ptdpúdt.
	2pi
0		0	ê	−	∞	ú
			ëc	i		û

Меняя в этой формуле порядок интегрирования, что возможно в силу отмеченной выше равномерной (по t) сходимости, получаем

+∞	1	c+i∞	é	+∞	ù
ò f (t)e− p0tdt =		ò	F (p)ê	ò	e−(p0− p)tdt údp.
	2pi
0		− ∞	ê		ú
		c i	ë 0		û

Так как аналогично нахождению изображения единичной фун кции

+∞

e−(p0− p)t |0+∞ =

ò e−(p0

− p)tdt = -

p0 - p

- p

(Re(p0 - p) = Re p0 - Re p = Re p0 - c > 0),

+∞

−

c+i∞

F (p)

f (t)e

p0tdt = -

dp.

(23.7)

2pi

p - p

c−i∞

F (p)

Теперь рассмотрим

dp ïî

2pi

p - p

(L)

изображенному на рис. 166 контуру, состояще-

ìó

èç

дуги окружности (CR)

и отрезка

[

]

c + bi,c

- bi

, где R столь велико, что p0 íàõî-

дится внутри контура.

– bi

Так как F (p) аналитическая функция, то

согласно интегральной формуле Коши этот

Ðèñ. 166

интеграл равен F(p0), ò.å.

23. Основы операционного исчисления

c−ib

F (p)

dp +

= F (p0).

(23.8)

2pi

- p

2pi

)

p - p

c+ib

Ïðè

pÎ(C

)

F (p)

M (R)

и длина

p - p0

| p | - | p0 |

R- | p0 |

(CR ) £ pR, поэтому

F (p)

M (R)

pR =

2 M (R)

2pi

)

p - p

R-

| p

R- | p

Предел же последней величины при R ® ¥ равен нулю, посколь-

êó lim M (R) = 0, à

lim

= 1.

p0 |

R→∞

R→∞ R- |

Значит,

lim

F (p)

dp = 0 и, переходя в формуле (23.8)

2pi

R→∞

p - p

(CR )

c−i∞

F (p)

пределу при

R ® ¥ ,

получаем

dp = F (p0) èëè

2pi

p - p

c+i∞

F (p)

c+i∞

= F (p0), что с учетом формулы (23.7) и доказывает

2pi

p - p

c−i∞

нужное утверждение.

Можно проверить, что функция f (t) , заданная формулой (23.5), удовлетворяет условиям определения оригинала. В частнос ти, используя (23.6), имеем

+∞

F (t)

òF (c+i s)e

i σt

d s

òF (c+i s)d s= K e

–∞

где K > 0 – некоторое число. x

Приведем здесь (уже без доказательства) еще одну теорему, оправдывающую описанную выше схему применения операционного исчисления.

Теорема 23.3 (единственности). Если в некоторой полуплоскости Re p > s0 F (p) является изображением двух оригиналов, то эти оригиналы равны во всех точках, где они непрерывны.

504

505

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

То есть в точках своей непрерывности оригинал определяет ся однозначно; в точках же разрыва (1-го рода) значение оригинала может быть любым, так как это значение не влияет на величину инте грала в формуле (23.1).

23.2. Свойства преобразования Лапласа

Далее всюду запись f (t) ¸ F (p) будет означать, что f (t) – оригинал, а F (p) – его изображение.

Теорема 23.4	(смещения). Пусть f (t) ¸ F (p) при Re p > s0 è		α	–
Теорема 23.4	(смещения). Пусть f (t) ¸ F (p) при Re p > s0 è			–
любое комплексное число. Тогда при Re p > s0 + Reα справедлива
формула
	eαt f (t) ¸ F (p - a)
(т.е. в аргументе изображения р заменяется на p - a ).
+∞	+∞
¡ eαt f (t) ¸ ò eαt f (t)e− ptdt = ò f(t) e – (p – α)t dt = F (p – α)всилуформу-
0	0
ëû (23.1) ïðè Re(p − α) > s0 , ò.å. ïðè Re p − Reα > s0, Re p > s0		+ Reα . x

Пример. Найти изображение функции eαt, ãäå α – произвольное комплексное число.

Ð å ø å í è å

Здесь, как и в других примерах ниже, условию 1 определения о ригинала удовлетворяет не эта функция, а функция, равная нулю и eαt при отрицательных и положительных значениях t соответственно, т.е. функция eαth(t). Однако там, где это не может привести к недоразумениям, бу дем для простоты записи h(t) опускать.

Òî åñòü eαt = eαth(t). Òàê êàê h(t)¸ 1 , то согласно теореме 23.4 функция eαth(t) ¸ p 1- a . p

Теорема 23.5 (линейность изображения). Пусть f1(t)÷ F1(p) ïðè
Re p > s1 è f2(t) ÷ F2(p) ïðè Re p > s2 . Тогда при Re p								> max(s1,s2) è
любых комплексных постоянных c1 è c2 справедлива формула
	c1 f1(t) + c2 f2(t) ÷ c1F1(p) + c2F2(p).
				+∞
¡ c f	(t) + c f	2	(t) ¸	éc f	(t) + c f	2	(t)ùe− ptdt	=
1 1	2	2		ò ë 1 1	2	2	û
				0

	23. Основы операционного исчисления

+∞	+∞

= c1 ò f1(t)e− ptdt + c2 ò f2(t)e− ptdt = c1F1(p) + c2F2(p). x

Примеры. Найти изображения функций (a – произвольное комплексное число).

Ð å ø å í è å

1) sin at =

eiαt - e−iαt

æ 1

2ia

;

- ia

+ a

è p

p + ia ø

+ a

2) cosat =

eiαt + e−iαt

æ 1

;

+ ia

+ a

è p - ia

3) shat =

eαt

- e−αt

1 æ

1 ö

;

- a

è p - a

p + a ø

4) chat =

eαt

+ e−αt

1 æ

1 ö

- a

è p - a

p + a ø

Приведем еще один пример применения теорем 23.4 и 23.5: et sin2t =

= 1 et (1- cos2t); òàê êàê

1- cos2t = h(t) - cos2t ¸

òî

p2 + 4

p(p2 + 4)

et sin2t ¸

( p – 1) [( p – 1) 2 + 4 ]

Теорема 23.6 (подобия). Пусть f (t) ¸ F (p) при Re p > s0

è k > 0 –

произвольная постоянная. Тогда при тех же p функция f (kt) ¸

æ p

F ç

÷.

+∞

è k

¡ f (kt) ¸ ò

f (kt)e− ptdt . Положим здесь kt = τ ; t =

;

= k dt .

+∞

–

æ p ö

Тогда f (kt) ¸

f (t)e

dt =

÷. x

ò0

è k ø

Теорема 23.7 (дифференцирование оригинала). Пусть

f (t) ¸ F (p)

ïðè Re p > s0 è

f ¢(t) тоже является оригиналом при Re p > s1. Тогда

f ¢(t) ¸ pF (p) - f (0) ïðè Re p > max(s0,s1), ãäå ïîä

f (0)

понимается

lim f (t).

t→+0

506

507

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

¡ Интегрируя по частям, имеем

+∞	+∞			+∞
f ¢(t) ¸ ò f ¢(t)e− ptdt = ò e− ptdf (t) = e− pt f (t)\|0+∞				- ò f (t)de− pt =
0	0			0
		+∞
= lim e− pt f (t) - f (0) + p		ò	f (t)e− ptdt = pF (p) - f (0),
t→+∞		ò
		0

òàê êàê ïðè p = s + is

e –pt f (t ) £ e –s t e –i σt Me s 0 t= M e –st e s 0 t = M – ( s – s 0 )t ,

а эта величина стремится к 0 при t ® +¥ ( s − s0 > 0). x

Следствие. Если оригиналом являются не только f ¢(t), но и следующие производные этой функции, то согласно теореме 23.7 полу чаем

f ¢¢(t) = [ f '(t)]¢ ¸ p[pF(p) - f (0)] - f ¢(0) = p2F(p) - pf (0) - f ¢(0);

f ¢¢¢(t) = [ f ¢¢(t)]¢ ¸ p é p2F(p) - pf (0)	- f ¢(0)ù	- f ¢¢(0) =
ë	û

=p3F (p) - p2 f (0) - pf ¢(0) - f ¢¢(0)

èт.д. В общем случае

f (n)(t)¸ pnF (p)- pn−1 f (0)- pn−2 f ¢(0)- ...- f (n−1) (0),

ãäå f (k)(0) = lim f (k)(t), k = 0, 1,..., n - 1.

t→+0

Теорема 23.8 (интегрирование оригинала). Пусть f (t) ¸ F (p) при

Re p > s0 и f (t) непрерывна при t ¹ 0 . Тогда при тех же p

òt f (t)dt ¸ F (pp).

¡ Проверим, что функция j(t) = ò f (t)dt является оригиналом.

Условия 1 и 2 определения оригинала, очевидно, выполняются, условие 3 тоже выполняется, так как

es0t .

j(t)

ò f (t)dt

£ ò

f (t)

dt £ M òes0tdt =

es0t |0

= s

(es0t -1) £ s

23. Основы операционного исчисления

Так как функция j(t) является оригиналом, то она имеет некоторое изображение. Пусть j(t) ¸ F(p) . Тогда по теореме 23.7 имеем

	t
j¢(t) ¸ pF(p) - j(0) = pF(p) - lim	ò0	f (t)dt = pF(p) - lim f (c)×t =
t→+0	ò0	t→+0

= pF(p) - 0 = pF(p)

(здесь применены теоремы о среднем в определенном интегр але, где точка c между 0 и t, и о произведении бесконечно малой и ограниченной функций). Но согласно теореме 10.6 о производной определе нного интеграла по переменному верхнему пределу j¢(t) = f (t) ¸ F (p), значит, F (p) = pF(p), т.е. F(p) = F (pp). x

Теорема 23.9 (дифференцирование изображения). Пусть f (t) ¸ F (p) при Re p > s0 . Тогда при тех же p справедлива формула -tf (t) ¸ F ¢(p).

¡ Теорема сразу же следует из формулы (23.2). x

Результат теоремы можно переписать следующим образом: tf (t) ¸ -F ¢(p).

Следствие. Применяя эту теорему несколько раз, имеем

t2 f (t)¸ F ¢¢(p); t3 f (t )¸ -F ¢¢¢(p);...;tn f (t )¸ (- 1)n F (n) (p ).

Пример. Найти изображение функций g(t) = tn.

Р е ш е н и е При натуральных числах n имеем

æ	1 ö(n)		(-1)n n!			n!
tn = tnh(t) ¸(-1)n ç ÷		=(-1)n	p	n+1	=	n+1.
è	p ø		p			p

Рассмотренные до сих пор примеры можно объединить в следу ю- щую таблицу изображений:

h(t) ¸

sinat ¸

shat ¸

tn ¸

p2 + a2

p2 - a2

pn+1

eαt ¸

cosat ¸

chat ¸

p - a

p2 + a2

p2 - a2

508

509

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Пример. Найти изображение функции f (t) = t sint. Р е ш е н и е

æ	1		ö¢			2p
t sint ¸ - ç			÷	=					.
	2	+ 1			(p	2	+ 1)	2
è p			ø

Теорема 23.10 (интегрирование изображения). Пусть

f (t) ÷ F (p)

∞

ïðè Re p > s0 и для таких p интеграл ò F (p)dp сходится (здесь под ин-

тегралом понимается

lim

òp

F (p)dp ). Тогда этот интеграл является

ReP→+∞

∞

f (t)

изображением функции

, ò.å.

¸ ò F (p)dp.

¡ Интеграл в правой части последней формулы имеет вид

∞

∞ é

+∞

F (p)dp

f (t)e− ptdt údp.

(23.9)

Ïðè Re p = s ³ c > s0

имеем

f (t)e− pt

f (t )

e−st

e−iσt

£ Mes0te− st = Me(s0−s)t £ Me(s0−c)t

+∞

и интеграл ò Me(s0−c)tdt =

e(s0−c)t

сходится, что соглас-

s0 − c

c − s0

но признаку Вейерштрасса дает равномерную по p сходимость внутреннего интеграла в формуле (23.9). Предполагая, что путь интегрирования от p до ∞ целиком лежит в полуплоскости Re p = s ³ c > s0 , можем изменить порядок интегрирования в этой формуле. Получ аем

∞	+∞	é	∞	ù
ò F (p)dp = ò		f (t)ê	òe− ptdpú dt.		(23.10)
p	0	ê		ú
p	0	ë p		û

Òàê êàê ïðè p = s + iσ

∞

1 é

− pt ù

òe

− pt

dp = -

− pt

= -

−st

−iσt

- e

= -

- e

− pt

) =

− pt

ê lim→+∞ e

t ës

23. Основы операционного исчисления

(произведение бесконечно малой и ограниченной функций), т о из фор-

∞	+∞	f (t)
мулы (23.10) имеем ò F (p)dp =	ò	f (t)	e− ptdt, что и доказывает теорему
мулы (23.10) имеем ò F (p)dp =	ò	t	e− ptdt, что и доказывает теорему
p	0

(заметим, что из наших рассуждений следует и сходимость последнего интеграла). x

Пример. Найти изображение функции g(t) = et - 1 . t

Ð å ø å í è å

et -1

∞ æ 1

∞

p -1

∞

p -1

÷dp = [ln(p

-1)

- ln p]

= ln

= ln1ln

= ln

òp è p -1

p ø

+∞

∞

p -1

f (t)

Замечание. Теорема 23.10 означает, что

e− ptdt = òF (p)dp. Åñëè áû

в этой формуле можно было положить p = 0 , то она приняла бы вид

+∞ f (t)

∞

(23.11)

dt = òF (p)dp.

На самом деле формула (23.11) верна. Ее можно применять для вы- числения некоторых сходящихся несобственных интегралов от функций действительного переменного.

Пример. Вычислить интеграл ∞ sint dt.

ò0 t

Ð å ø å í è å

∞ sint		∞	dp		∞		p

ò		dt = ò		= arctg p		=	2.
	t		p2 + 1		0

0		0

Свертка двух функций и ее изображение

Определение 23.3. Пусть f1(t) è f2(t) – два оригинала. Их сверткой называется функция, обозначаемая f1 f2 и определяемая равенством

t
( f1 f2)(t) = ò f1(τ) f2(t − τ)dτ .	(23.12)
0

1. Интеграл в правой части формулы (23.12) существует в силу кусочной непрерывности функций f1(t) è f2(t).

510

511

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

2. Функция ( f1 f2)(t) также является оригиналом.

Условия 1 и 2 определения оригинала, очевидно, выполняются. Проверим выполнение условия 3.

Пусть s0 – наибольший из показателей роста функций f1(t) è f2(t),

а M – наибольшая из постоянных в оценке их модулей. Тогда | fi (t)|< Mes0t , i = 1,2, è

|( f1 * f2)(t) |£ ò| f1(t) | | f2(t - t) | dt £

	0
t	t	(23.13)
£ òM 2es0τes0(t −τ)dt = M 2 òes0tdt = M 2tes0t ,		(23.13)
0	0

что не превосходит некоторой постоянной, умноженной на e(s0 +ε)t , где e > 0 – произвольное фиксированное (сколь угодно малое) число.

	t
3. f1 * f2 = f2 * f1.	Действительно, ( f2 * f1)(t) = ò f2(t)f1(t - t)dt .
	0
Произведем в этом интеграле замену t - t = s, t = t - s, dt = -ds. Тогда
0	t

( f2 * f1)(t) = -ò f2(t - s)f1(s)ds = ò f1(s)f2(t - s)ds = ( f1 * f2)(t).

Теорема 23.11 (о свертке). Пусть f		(t) ¸ F (p) ïðè Re p > s1 è
	1	1
f2(t) ¸ F2(p)	ïðè Re p > s2. Тогда при Re p > s0 = max(s1,s2 )

( f1 f2)(t) ÷ F1(p)F2(p),

т.е. свертке оригиналов соответствует произведение их изо бражений. ¡ Согласно определениям изображения и свертки

+∞ ét

( f

* f

)(t) ¸

(t)f

- t)dtúe− ptdt =

+∞

= ò e− ptdt ò f1(t)f2(t - t)d t.

Это есть двойной интеграл по изображен-

ной на рис. 167 области (в этой области дей-

ствительно t изменяется от 0 до + ¥, а при каж-

t дом фиксированном t, т.е. вдоль вертикаль-

Ðèñ. 167

ной прямой, t меняется от 0 до прямой t = t).

23. Основы операционного исчисления

Так как согласно оценке (23.13), этот двойной интеграл абсолют но сходится, то в нем можно изменить порядок интегрирования и тогда

+∞ +∞ +∞ +∞

( f1 * f2)(t) ¸ ò dt ò e− pt f1(t)f2(t - t)dt = ò f1(t)e− pτdt ò f2 (t - t)e− p(t−τ)dt .

0 τ 0 τ

Заменяя во внутреннем интеграле правой части последней ф ормулы t - t = s, dt = ds, получим

+∞ +∞

( f1 * f2)(t) ¸ ò f1(t)e− pτdt ò f2(s)e− psds = F1(p)F2(p).

Интеграл Дюамеля

Пусть f (t) ¸ F (p) и j(t) ¸ F(p) . Теорема о свертке означает тогда,

÷òî ò f (t)j(t - t)dt ¸ F (p)F(p). Отсюда согласно теореме о дифферен-

	0
цировании оригинала
æ t		ö¢	¸ pF (p)F(p) - lim	t	f (t)j(t - t)dt = pF (p)F(p).
ç	ò	f (t)j(t - t)dt ÷	¸ pF (p)F(p) - lim	ò	f (t)j(t - t)dt = pF (p)F(p).
ç	ò	÷	t→+0	ò
è	0	ø t		0

Но левая часть этой формулы, как производная интеграла по пара-

метру и по верхнему пределу, равна ò f (t)j¢t (t - t)dt + f (t)j(0).

0
Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема 23.12.
t
ò f (t)j't (t – t) dt+ f (t) j(0) ¸ p F( p)Ô(p).	(23.14)
0

Формула (23.14) называется формулой Дюамеля, или интегралом Дюамеля.

Теорема 23.13 (запаздывания). Пусть f (t) ¸ F (p) , а t > 0. Тогда f (t - t ) ¸ e –p τ F (p).

¡ Сначала отметим, что так как f (t) = 0 при t < 0 , то f (t - t) = 0 при t - t < 0 , т.е. t < t . График функции f (t - t) получается из графика функции f (t) сдвигом на t вправо (рис. 168). Поэтому функция f (t - t) и называется запаздывающей по отношению к функции f (t).

512

513

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

f (t)		f (t – t)
	f (t)	f (t – t)
	f (t)
0	t	t
		Ðèñ. 168
Далее, учитывая, что f (t − τ) = 0 ïðè t − τ < 0, ò.å. ïðè t < t, имеем:
	+∞	+∞
	f (t − τ) ÷ ò f (t − τ)e− ptdt = ò f (t − τ)e− ptdt.
	0	τ
Впоследнеминтегралесделаемзамену t –τ = s,t = τ + s,dt = ds.Получим
	+∞	+∞
f (t − τ) ÷ ò f (s)e− p(τ+s)ds = e− pτ ò f (s)e− psds = e− pτF (p).x
	0	0

23.3. Нахождение оригиналов по изображениям

Нахождение оригиналов по теореме 23.2, естественно, мало инт е- ресно. Рассмотрим некоторые типовые примеры более просто го нахождения оригиналов.

Примеры. Найти оригиналы по изображениям. Р е ш е н и е

1. F (p) =	2p
		.
	(p + 1)(p2 + 1)

Разложим эту правильную рациональную дробь на простые др оби:

Bp +C

; 2p = A(p2 + 1) + (Bp +C)(p + 1).

(p + 1)(p2 + 1)

p + 1

p2 + 1

p = -1

-2 = 2A, A = -1

Ïðè

, имеем:

. Приравнивая коэффициенты при

p2 è p0 , имеем A + B = 0 и A +C = 0 , откуда B = 1 и C = 1 Ю

F (p) = -

p + 1

p2 + 1

p + 1

Откуда, с учетом линейности изображения и таблицы изображ ений имеем

F (p) ¸ cost + sint - e−t .

514

23. Основы операционного исчисления

2. F (p) = p(p2 + 1).

Эту дробь также можно разложить на простые, однако проще п рименить теорему об интегрировании оригинала:

						t
			p2	+1		t	t
	F (p) =		p2	+1		¸ òsintdt = -cost	t	= 1- cost.
	F (p) =			p			0	= 1- cost.
				p			0
					0
3. F (p) =	p
		.
	p2 - 2p + 2	.

Эта правильная рациональная дробь уже является простой. В ыделим в ее знаменателе полный квадрат:

p -1

F (p) =

(p - 1)2 + 1

Теперь применим теорему смещения: так как cost ¸

è sint ¸

, òî

p2 + 1

F (p) ¸ et

cost + et sint.

4. F (p) =

(p2 +

1)2

В этом случае целесообразно применить теорему о свертке:

F (p) =

¸ cost *cost =

òt

costcos(t - t)dt =

òt

[cost + cos(2t - t)]dt =

(p +1)

= 12t cost + 14 sin(2t - t)|t0 = 12t cost + 14 sint - 14 sin(-t) = 12t cost + 12 sint.

Отметим здесь также, что если изображение F (p) есть рациональная дробь, то эта дробь согласно формуле (23.4) обязана быть прави льной.

Теперь перейдем от примеров к более общему случаю.

Теорема 23.14(разложения). Пусть F (p) – правильная рациональная дробь. Тогда оригиналом для нее будет (умноженная на η(t)) функция

		F(p) e pt		},	(23.15)
f (t)=å Res {
k	p= p	k

где сумма берется по всем особым точкам функции F (p).
¡ Особые точки функции F(p) e pt			– это нули знаменателя F (p)

(значит, все такие точки будут полюсами). Этих точек – конеч ное число, поэтому можем выбрать такое достаточно большое число c > 0, что все особые точки лежат левее прямой Re p = c.

515

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Рассмотрим на плоскости p полуокружность (LR)сдиаметромнаэтойпрямойицентромнадействительной оси такого столь большого радиуса R, что все особые точки F(p) e pt лежат внутри изображенного на рис. 169 замкнутого контура, состоящего из (LR) и отрезка [c - Ri, c + Ri].

Согласно основной теореме о вычетах при любом фиксированном t > 0

1						1	c+Ri
1	ò F (p)eptdp +					1	ò F (p)e ptdp =
2pi	ò F (p)eptdp +					2pi	ò F (p)e ptdp =
2pi	(L	)				2pi	c−Ri
	R							(23.16)
		= å			{			(23.16)
		= å			{		}
			Res		F(p) e pt			,
		k	p= p	k
		k		k

R i

c s

– R i

Ðèñ. 169

Перейдем в этой формуле к пределу при R ® +¥ (при этом правая часть формулы от R уже не зависит). Для этого произведем в первом интеграле левой части замену p = c + iz . Так как уравнение полуокруж-

ности (LR) имеет вид p - c = Reiϕ,

é p

, то после замены эта полу-

j Î ê

ë 2

окружность перейдет на плоскости z в кривую

iϕ

iz = Re

Þ z = i Re

= -iRe

= -iR(cosj +i sinj) =

= R(sinj - i cosj) = R

p öù

êcosçj -

+ i sinçj -

÷ú.

2 øû

y					Обозначая j - p = y,имеем z=R(cosy +
y							2
					+ i siny) = Reiψ, y Î[0,p], т.е. на плоскости
					z полученная кривая является изображен-
					ной на рис. 170 полуокружностью (CR)
0				R x	радиуса R с центром в точке 0.
0				R x	Так как при такой замене dp = idz , то
Ðèñ. 170					Так как при такой замене dp = idz , то
Ðèñ. 170					в результате
					в результате
1		ò		F (p)eptdp =		1	ò F (c +iz )e(c+iz)tdz =
	2pi	ò		F (p)eptdp =		2p	ò F (c +iz )e(c+iz)tdz =
	2pi	(L	)			2p	(C )
		R					R

23. Основы операционного исчисления

=	1	ect	ò	F (c + iz )eitzdz =	1	ect	ò g (z )eitzdz ,	(23.17)

	2p				2p
			(CR )				(CR )

ãäå g(z) = F (c + iz). Согласно оценке (22.52), обозначая в ней

è R =

, ïðè n - m ³ 1 (наша дробь правильная) и

> 1,

F (z)

n−m

| z

значит,

| z |

g (z)

F (c + iz)

| c + iz |

|iz | - | c |

R - c

K |a0 | = L

>| bc0имеем|

Из последней оценки ясно, что M (R) = max \| g(z) \|® 0 при
						z (CR)
R ® +¥ , и тогда согласно лемме Жордана (t > 0) Rlim→∞							ò g(z)eitzdz = 0,
значит, из формулы (23.17) следует, что							(CR )
значит, из формулы (23.17) следует, что
		lim	1		F (p)eptdp = 0.			(23.18)
		lim			F (p)eptdp = 0.			(23.18)
		R→∞	2pi (Lò )
				R
Далее, согласно теореме 23.2
lim	1	c+Ri F (p)eptdp =			1	c+i∞ F (p)eptdp = f (t).		(23.19)
lim		c+Ri F (p)eptdp =			2pi	c+i∞ F (p)eptdp = f (t).		(23.19)
R→∞ 2pi		ò			2pi	ò
		c−Ri				c−i∞

Теперь, переходя в формуле (23.16) к пределу при R ® +¥ , с уче- том формул (23.18) и (23.19) получаем искомую формулу (23.15). x

Пример. Вернемся к рассмотренному выше примеру F (p) =	2p
	(p + 1)(p2 + 1)

и найдем оригинал для этого разложения еще раз при помощи теоремы разложения, т.е. формулы (23.15), учитывая при этом, что все три ос обых точки p = −1, p = ±i – простые полюса.

Ð å ø å í è å

p2+1

+Res

+ Res

F ( p) ¸ Res

p+1

e pt

p+1

p=–1

p=i p2 +1

p=–i p2 +1

p2 +1

p= –1

516

517

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2726 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.20153.35 Mб861V_techenie__964.pdf
#
03.08.2019263.68 Кб7ZADAChI_-_men-t.doc
#
03.05.201517.07 Кб93Zadanie3.doc
#
03.05.2015310.85 Кб27Zadanie_Kratnye_integraly_MTUSI_2013g.pdf
#
03.05.2015237.57 Кб12_posobia_parts_bi1-l-3.pdf
#
03.05.20153.65 Mб678А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс.pdf
#
26.08.20192.11 Mб15Аббревиатура OFDM.doc
#
03.05.2015172.54 Кб7Авто-ген(2ч.).doc
#
03.05.201514.95 Кб49АИМ.docx
#
03.05.201546.23 Кб5Алимкина.docx
#
06.11.20181.39 Mб7Анализ временных и спектральных характеристик....doc