А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Сравним полученный результат с правой частью формулы (21.23):

Второе из этих слагаемых как раз и входит в правую часть фо рмулы (21.24), значит, для доказательства равенства (21.23) достаточно про-

Наша поверхность задана уравнением z = f (x,y), èëè z – f (x,y )=0.

14243

F (x,y,z )

В соответствии с результатами разд. 12.8 вектор нормали к это й повер-

следует, что для любого замкнутого контура (L)М (T ) с натянутой на него поверхностью (S )М (T ) ò Pdx + Qdy + Rdz = 0 , а в соответствии

(L)

с теоремой 20.2 последнее равенство является необходимым и доста-

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

лы тоже не зависит от выбора системы координат. Формула (21.25 ) задает rotF(M0)n ( n – единичный вектор), т.е. проекцию rotF (M0) на любое направление. Ее можно взять за инвариантное определ ениеrotF , т.е. rotF (M0) – это вектор, проекция которого на произвольное направление, определяемое вектором n , задается этой формулой.

Если рассматривать произвольное движение некоторого тв ердого тела и F – вектор скорости в каждой точке, то rotF с точностью до числового множителя будет давать мгновенную угловую ско рость. С этим связано и само название «ротор» (вихрь) векторного поля.

21.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка

Введем символический вектор – оператор Гамильтона:

где символ « С » читается как «набла». Пользуясь этим символом, мож-

2. Скаляр (число) divF = СF – это скалярное произведение векторов С и F .

Действительно, считая скалярное произведение как сумму п роизведений координат векторов и понимая эти произведения ка к частные производные, имеем

3. Вектор rotF = С ´ F – это векторное произведение векторов С и F .

Действительно, находя векторное произведение и рассужда я так же, как изложено выше, имеем

21. Теория поля

Операции второго порядка

Попробуем применить рассмотренные выше три операции пер вого

________

порядка: gradU , divF , rotF , переводящие соответственно скаляр в вектор, вектор в скаляр и вектор в вектор, последовательно (там, где это возможно). При этом получим пять операций второго порядка : div gradU , rot gradU , grad divF , div rotF , rot rotF . Рассмотрим некоторые из этих операций.

1.Привыполненииусловийтеоремы12.9осмешанныхпроизводны х.

Используя оператор Гамильтона, этот результат можно полу чить

_________

короче: rot gradU = С ´ СU = 0 как векторное произведение коллинеарных векторов С и СU .

2.При существовании соответствующих производных

тор Лапласа).

3.Привыполненииусловийтеоремы12.9осмешанныхпроизводны х

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

= ¶2R - ¶2Q + ¶2P - ¶2R + ¶2Q - ¶2P = 0. ¶x¶y ¶x¶z ¶y¶z ¶y¶x ¶z¶x ¶z¶y

При помощи оператора Гамильтона этот результат можно пол учить короче: div rot F = С ЧС ´ F = 0 как скалярное произведение ортогональ-

123

^Ñ

ных векторов С и С ´ F .

21.7. Специальные векторные поля

Потенциальное поле

Определение 21.10. Векторное поле F = {P, Q,R} называется потенциальным, если существует скалярное поле U, называемое потенциалом, такое, что F = gradU .

Теорема 21.5. Пусть в области (Т ) функции P, Q, R имеют непрерывные частные производные. Для того чтобы в этой области полеF было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы rotF = 0.

Необходимость этого условия уже доказана (см. п. 1) в разд. 21.6).

¡ Достаточность. Пусть rotF = 0, ò.å.

21. Теория поля

x

j(x,y) = ò R(x,y,z0)dx,

x0

ãäå x0 – фиксированная точка. Тем самым мы нашли частное решение системы уравнений (21.28):

Пример. Рассмотрим то же поле, что и выше:

F = (y + z)i + (x + z) j + (x + y)k.

Проверим, что оно не только потенциально, но и соленоидаль но, и найдем его векторный потенциал.

дально. Найдем векторный потенциал по формулам (21.29), взяв в н их

(x0,y0 ,z0 ) = (0,0,0) :

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

VIII

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

«

22. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

22.1. Определение и некоторые элементарные функции комплексного переменного

Определение 22.1. Пусть E – некоторое множество комплексных чисел z и "z ОE соответствует одно комплексное число w. Тогда говорят, что w является (однозначной) функцией комплексного переменного z с областью определения E, и пишут w = f (z) . Функция комплексного переменного сопоставляет каждой точке комплек сной плоскости z некоторую точку комплексной плоскости w.

Пусть z = x + iy, w = u + iv и w является функцией от z (т.е. от x и от y). Тогда u и v тоже являются функциями от x и от y. Таким образом, задание функции комплексного переменного w = f (z) равносильно заданию двух действительных функций двух действительных п еременных x и y : u = u(x,y), v = v(x,y).

Определение 22.2. Функции u(x,y) и v(x,y) называются соответственно действительной и мнимой частью функции w = f (z) и обозна- чаются u = Rew, v = Im z .

Пример. Найти действительную и мнимую части функции w = z2. Ð å ø å í è å

w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2ixy , ò.å. u = x2 - y2, v = 2xy.

Определение 22.3. Если некоторым z из области определения функции соответствует более одного значения w, то такая функция комплексного переменного называется многозначной.

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Пример. Функция w = n z – n-значная функция ( "z ¹ 0 соответствует n различных значений w).

Некоторые элементарные функции комплексного переменног о

1. Степенная функция w = zα , ãäå α – рациональное число, т.е.

Последнее выражение и берется за определение комплексно го числа w = ez . Ïðè ýòîì u = ex cos y, v = ex sin y .

Введенная таким образом показательная функция обладает обычными свойствами показательной функции действительн ого переменного:

à) ez1ez2 = ez1+z2 ,так как согласно выводам в разд.8.3

ez1ez2 = ex1+iy1ex2+iy2 = ex1eiy1ex2eiy2 = ex1+x2ei(y1+y2) = ex1+x2+i(y1+y2) = ez1+z2 ;

á) ez1 = ez1−z2 (аналогично); ez2

â) (ez )n = ezez ...ez = ez+z+...+z = enz ;

ã) ez+2πi = eze2πi = ez (cos2p + i sin 2p) = ez , значит показательная функция является периодической с периодом 2πi .

3. Тригонометрические функции.

Для действительныхx имеет место равенство eix = cos x + i sin x . Заменяя в этой формуле x на –x, имеем e−ix = cosx − i sin x . Складывая и

Теперь по аналогии определяем косинус и синус комплексного числа:

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Оказывается, что для введенных таким образом функций спра ведливы все формулы тригонометрии, которые выражаются равен ствами. Например:

=21i (eiz - e−iz ) = sin z ; аналогично cos(z + 2p) = cos z .

4.Гиперболические функции и их связь с тригонометрически ми.

По аналогии с гиперболическими функциями действительно го пе-

Связь между гиперболическими и тригонометрическими фун кциями дается следующими формулами:

sh iz = i sin z, siniz = i sh z, ch iz = cosz, cosiz = ch z (22.1)

(т.е. i выносится как –1 для таких же функций действительного пер е- менного с заменой гиперболических функций на тригономет рические и наоборот).

Докажемоднуизэтихформул(остальныедоказательстваан алогичны):

siniz = ei(iz) - e−i(iz) = -i e−z - ez = i sh z . 2i 2

5. Логарифмическая функция w = Ln z .

Эта функция определяется как функция, обратная показател ьной, т.е. согласно определению w = Ln z – это такое комплексное число, что ew = z . Таким образом, если w = u + iv , то eu(cosv + i sinv) = z .

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Два комплексных числа равны только при совпадении их моду лей и отличии аргументов на число, кратное 2p , поэтому eu = z Ы u= ln z (это обычный логарифм действительного числа) и v = Arg z = arg z + + 2pk (-p < arg z £ p) , значит,

Это бесконечнозначная функция, так как "z ¹ 0 соответствует по этой формуле бесконечное число значений w. При каждом k получаем однозначную функцию комплексного переменного. Функция, п олу- чаемая при k = 0 , называется главным значением логарифмической функции и обозначается: ln z = ln | z | +i arg z.

Отметим следующие свойства логарифмической функции:

Ln(z1z2) = Ln z1 + Ln z2 ; Ln z1 = Ln z1 - Ln z2 (это совпадение двух z2

множеств комплексных чисел). Докажем первую из этих форму л (вторая доказывается аналогично):

Ln(z1z2) = ln | z1z2 | +iArg(z1z2).

Множества Arg(z1z2) è Arg z1 + Arg z2 совпадают, поэтому

Ln(z1z2) = ln | z1 || z2 | +i(Arg z1 + Arg z2 ) =

= ln | z1 | +iArg z1 + ln | z2 | +iArgz2 = Ln z1 + Ln z2.

Пример. Решить уравнение cosz = 5,05 (так как 5,05 > 1, то в области действительных чисел такое уравнение, естественно, решен ия не имеет).

Ð å ø å í è å

Используя определение логарифмической функции, находим :

iz = Ln10 = ln 10 + iarg10 + 2pki = ln10 + 2pki; z = 2pk - i ln10.

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Аналогично

iz = Ln0,1 = ln 0,1 + iarg0,1+ 2pki = - ln10 + 2pki; z = 2pk + i ln10.

В итоге наше уравнение имеет бесконечное число решений:

z= 2pk ± i ln10, k Î Z.

6.Комплексное число в комплексной степени. Проводя формальное преобразование, получаем:

z1z2 = eLn z1z2 = ez2Lnz1.

Так как логарифмическая и показательная функции уже опре делены, то последнее выражение берется за определение числа (точнее, чисел) z1z2. При фиксированном z1 из этой формулы получаем общую показательную функцию, а при фиксированном z2 – общую степенную функцию. Обе эти функции бесконечнозначные.

Пример. Вычислить i i.

(т.е. результатом примера является бесконечное множество действительных чисел).

22.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Определение 22.4. На комплексной плоскости ε -окрестностью (или просто окрестностью) точки z0 называется множество U(z0,e) таких точек z, что | z - z0 | < e. Если из этого множества исключить саму точку z0, то получим так называемую проколотую окрестность точки

0

z0, обозначаемую как U (z0,e). Åñëè z = x + iy, z0 = x0 + iy0, òî

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

а это согласно определению предела функции двух переменн ых озна-

Это и означает, что lim f (z) = A.x

z→z0

Из данной теоремы следует возможность перенесения на фун кции комплексного переменного основных теорем о пределах (сум мы, разности, произведения, частного). Например, покажем, что

¡ Пусть f1(z) = u1 + iv1 , f2(z) = u2 + iv2 , тогда

f1(z) f2(z) = u1u2 - v1v2 + i(u1v2 + v1u2).

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Согласно теоремам о пределах функции двух переменных,

По аналогии с определением 3.1 непрерывности функции дейст вительного переменного дается определение непрерывности функции комплексного переменного.

Определение 22.6. Пусть функция w = f (z) определена в некоторой окрестности точки z0. Эта функция называется непрерывной в точке

тогда, и только тогда, когда ее действительная u(x,y) и мнимая v(x,y) части непрерывны в точке (x0,y0).

¡ Ïðè z = x + iy , z0 = x0 + iy0, имеем f (z) = u(x,y) + iv(x,y),

Сославшись на основные теоремы о пределах для функций ком п- лексного переменного, легко проверить, что сумма, разност ь, произведение и частное (при знаменателе, отличном от 0) непрерывных в некоторой точке функций есть функция, непрерывная в этой то чке.

Определение 22.7. Функция w = f (z) называется непрерывной на некотором множестве (D), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

22. Элементы теории функций комплексного переменного