10.5. Средняя квадратическая ошибка функции общего вида

В большинстве случаев геодезические измерения выполняют с целью определения значения других величин, связанных с измеряемой функциональной зависимостью.

Например:

D = К · n ;

h = З – П ;

h = S · tgν.

Для суждения о получаемой при этом точности необходимо определить среднюю квадратическую ошибку функции по средним квадратическим ошибкам исходных величин, которые в свою очередь, могут являться результатами измерений или функциями результатов измерений.

Пусть  u = f(X,Y,Z) есть некоторая функция независимых величин X, Y, Z, измеренных или вычисленных со средними квадратическими ошибками m_x, m_y, m_z.

Продифференцируем функцию по всем переменным и получим

.

В этой формуле бесконечно малые приращения – дифференциалы – заменим истинными ошибками. Получим выражение

,

где ΔX, ΔY, ΔZ – истинные ошибки.

Перейдем от истинных ошибок к средним квадратическим ошибкам. Для этого положим, что X, Y, Z измерено n раз, где можно считать . Соответственно числу измерений составляем n равенств

 

Возведем каждое из равенств в квадрат, сложим и разделим на n

А так как   ;         и т.д.,

то

 где    представляют собой частные производные данной функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов.

10.6. Математическая обработка результатов равноточных измерений

Среднее арифметическое (арифметическая средина). Если имеется ряд результатов равноточных измерений ℓ₁,ℓ₂,...,ℓ_n одной и той же величины Х, то нет оснований отдавать предпочтение какому – либо из этих значений. В этом случае за окончательное значение Х принимают величину, вычисленную как среднее арифметическое из всех результатов:

Случайные ошибки получают как

Сложив левые и правые части этих равенств, получим

 

Отсюда;

,

На основании четвертого свойства при

Следовательно, при большом числе измерений среднее арифметическое равно истинному значению Х. Это и позволяет использовать среднее арифметическое в качестве окончательного результата выполненных измерений. Иначе его называют вероятнейшим значением измеренной величины.

Контроль вычисления среднего арифметического осуществляется по вероятнейшим ошибкам δ.

Сложив уравнения , получим  .

Это свойство вероятнейших ошибок позволяет контролировать правильность вычисления арифметической средины.

Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического. Для вычисления средней квадратической ошибки М арифметической средины пользуются формулой

из которой следует, что средняя квадратическая ошибка арифметической средины в раз меньше средней квадратической ошибки отдельного измерения.

Средние квадратические ошибки, выраженные через вероятнейшие ошибки.

Используя уклонения (вероятнейшие ошибки) , вычисляют среднюю квадратическую ошибку уклонения m одного измерения по формуле Басселя

Среднее квадратическое уклонение М арифметической средины в этом случае вычисляют по формуле

10.7. Неравноточные измерения. Понятие о весе измерения. Формула общей арифметической средины или весового среднего

Если измерения выполнялись не в одинаковых условиях, то результаты нельзя считать одинаково надежными. Такие измерения называют неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным и техническим теодолитом. Результаты данных измерений будут неравноточными.

Мерой сравнения результатов при неравноточных измерениях, т.е. мерой относительной ценности полученных неравноточных результатов является вес результата измерения.

Вес выражает как бы степень доверия, оказываемого данному результату по сравнению с другими результатами.

Чем надежнее результат, тем больше его вес. Вес определяется как величина обратная квадрату средней квадратической ошибки

Если, например, имеется два неравноточных значения длины линии 220,35 ± 0,1 м, 220,35 ± 0,2 м, то в качестве весов Р₁ и Р₂  могут быть приняты числа:

Веса можно умножать или делить, но на одно и тоже число. Разделив вычисленные в примере веса на 25, получим р₁ = 4 и р₂ = 1.

Так как р₁ > р₂ , то первое измерение более точное.

Допустим имеется ряд равноточных результатов измерений  , для которых рассчитаны средняя квадратическая ошибка m, среднее арифметическое ряда измерений и средняя квадратическая ошибка М. На основании определения веса, весом p отдельного измерения и весом арифметической средины P будут

Умножив веса на  m ²    , имеют Р = 1,  Р = n , следовательно, вес арифметической средины больше веса отдельного измерения в n раз, n – число измерений, из которых вычислена данная арифметическая средина.

Иначе, весом результата измерения называется число равноточных измерений, из которых получен данный неравноточный результат измерения как среднее арифметическое.

Рассмотрим вывод формулы общей арифметической средины или весового среднего.

Пусть величина имеет ряд равноточных измерений:

Р₁ , Р₂ .....  Р_к ,   - не одинаковое число измерений. Так как измерения равноточные, то для получения вероятнейшего значения, необходимо образовать из всех результатов измерений среднее арифметическое

Разбив теперь рассматриваемый ряд равноточных измерений на k групп, образуем средние арифметические по группам L' , L'' .....  L^(к) . Полученные арифметические средние можно рассматривать как новые результаты измерений той же величины, но уже неравноточные. Таким образом, вместо первоначального ряда равноточных измерений для некоторой величины мы получили новый ряд неравноточных измерений L' , L'' .....  L^(к) , с весами Р₁ , Р₂ .....  Р_к . По данным неравноточным измерениям арифметическое среднее l _p определяют по формуле

Полученное значение называется общей арифметической среди-ной или весовым средним.

Общая арифметическая средина из данных неравноточных измерений равна сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов. Она является вероятнейшим значением измеряемой величины.

Аналогично тому, как при равноточных измерениях, для оценки точности отдельного результата и арифметической средины, при оценке неравноточных измерений определяют среднюю квадратическую ошибку единицы веса

и среднюю квадратическую ошибку весового среднего

где – уклонения отдельных результатов измерений от общей арифметической средины. Для контроля правильности вычислений используется свойство

Для контроля правильности вычислений используется свойство

.