Список литературы

1. А.М. Шарковский. Существование циклов непрерывного преобразования прямой в себя//Укр.мат.журн. 1964. Т.16, N1. С. 61-65.

2. А.М. Шарковский. Разностные уравнения и динамика численности популяций. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. 22 с.

3. Н.В. Белотелов, И.В. Дмитриева, Д.А. Саранча. Использование дискретных отображений при моделировании численности животных//Исследование операций (модели, системы, решения). М.: ВЦ РАН, 1991. С. 9-42.

4. Н.В. Белотелов, И.В. Дмитриева, Д.А. Саранча. О некоторых свойствах одномерного дискретного отображения со специфическим видом правой части // Биомоделирование. М: ВЦ РАН, 1993. С. 111-154.

5. Д.А. Саранча. Количественные методы в экологии. Биофизические аспекты и математическое моделирование. М., МФТИ, 1997. 283 с.

6. Н.В. Карлов , Н.А. Кириченко. Колебания, волны, структуры. Москва. Физматлит. 2003 стр. 68-69.

7. Д.А. Саранча Дискретные отображения и их применение в одной задаче количественной экологии//Сб. научн. тр.: Математика. Компьютер. Образование. М. -Ижевск, 2006, вып. 13, т. 2, с. 63-84.

Приложение

Рис.1 в верху - n-кратные отображения для ДДО ABC (DEFG – 2-кратное отображение, DD₁D₂D₃H₄- 3- кратное отображенение, DHH₁H₂H₃H₄ – 4 – кратное отображение, DP₁P₂P₃H₄ - 5 – кратное отображение, DN₁N₂N₃H₄ - 6 – кратное отображение), логистического и треугольного отображений; в середине - результаты вычислительного эксперимента с ДДО, логистическим и треугольным отображением, дополненными ступенькой, при изменении высоты ступеньки d (0<d<1). Зависимость траекторий расчётной модели (по вертикали) от высоты ступеньки d (по горизонтали); внизу - зависимость периода цикла (по вертикали) от высоты ступеньки d (по горизонтали) для этих отображений. При сравнении средних и верхних рисунков видно, что траектории со средних рисунков содержат элементы n-кратных изображений. При сравнении средних и нижних рисунков интересно отметить, что зоны белых и чёрных полос на них совпадают.

Рис.2. То же, что и на рис.1, но при опускании ступеньки d после точки равновесия не от исходной функции, а от прямой, близкой к вертикальной. Заметно, что ширина зон со сложными режимами сильно уменьшилась.

Рис. 3. слева - две первых линии возврата для ДДО и порождаемые ими периодические точки, точки на биссектрисе – периодические, точки на горизонтальных линиях имеют тот же период, что и точка на биссектрисе; справа - три первых линии возврата и генерируемые ими периодические точки для ДДО.

Рис.4. Зависимость периода цикла (по вертикали) от координаты для всех точек с рис. 3 слева.

Таким образом, при помощи алгоритма построения рис.3 и рис.4. можно получать информацию о периодах траектории. Обычно эту задачу решают с помощью спектрального анализа.