Вполне определённые игры

Вполне определённая игра является наиболее простым случаем матричной игры. Вполне определённой игрой или игрой с седловой точкой называется игра, у которой совпадают нижняя и верхняя цены игры, то есть выполняется равенство:

(1.3)

При этом называется ценой игры, элемента соответствующий равенству, называют седловой точкой.

Простота решения игры с седловой точкой заключается в том, что оптимальные стратегии обоих игроков находятся сразу. Для игрока А это стратегия для игрока В – . Причём, такое решение обладает свойством устойчивости в том смысле, что если один из игроков применяет свою оптимальную стратегию, то любое отклонение другого игрока от оптимальной стратегии может оказаться не выгодным для него.

Действительно, пусть игрок А выбрал оптимальную стратегию соответствующую , то есть игрок А обеспечивает себе выигрыш, равный одному из элементов строки, причём, элемент в столбце наименьший среди них . И если игрок В выберет j-ю стратегию отличную от , то он проиграет сумму, равную , а игрок А соответственно выиграет её. Аналогичные рассуждения показывают не выгодность стратегии, отличной от оптимальной, для игрока А, когда В придерживается своей оптимальной стратегии.

Решением игры в примере (п. 1.1) (1.3) является выбор стратегий игроком и игроком , при этом цена игры V = 3.

Решение матричной игры

Наиболее простой матричной игрой является игра , в которой игроки имеют по две чистых стратегии.

Пусть матрица такой игры

. (2.1)

Если седловой точки нет, то решением игры являются смешанные стратегии (2.2)

. (2.3)

Согласно основной теореме теории игр, применение оптимальной стратегии игроком А обеспечивает получение выигрыша V при любых стратегиях игрока В. Сказанное приводит к системе уравнений:

Кроме того, .

Решение этих уравнений даёт:

, (2.4)

, (2.5)

. (2.6)

Аналогично, применение оптимальных стратегии обеспечивает проигрыш V игроку В при любых стратегиях А, что приводит к системе

(2.7)

Ее решение даётся формулами

(2.8)

(2.9)

Решение матричных игр графическим методом

Пример.

Найти стратегии игроков А, В и цену игры, заданной матрицей (с помощью

формул и графически)

РЕШЕНИЕ. Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число в каждой строке обозначим αi . Получаем: α 1 = 0, α 2 = −1. Выберем максимальное из этих значений α = 0 - нижняя цена игры.

Аналогично для второго игрока. Найдем максимальные значения выигрыша по столбцам:

β 1 = 6 , β 2 = 5, β 3 = 3 , β 4 = 5 и минимальное из этих чисел β = 3 - верхняя цена игры.

Так как верхняя и нижняя цены игры различны, игра не имеет решения в чистых стратегиях, цена игры находится в промежутке от 0 до 3 (между нижней и верхней ценой игры).

Игра имеет большую размерность, попробуем ее уменьшить, выделив невыгодные стратегии и вычеркнув их из матрицы: все элементы столбца В1 больше элементов столбца В3, поэтому вычеркиваем столбец В1.

Получили матрицу (А1, А2, В2, В3, В4):

Теперь найдем решение игры, заданной данной платежной матрицей в смешанных стратегиях.

Найдем две активные стратегии игрока B . Для этого определим оптимальные смешанные стратегии игрока A .

Игрок B имеет три чистые стратегии, им будут соответствовать три прямые в

геометрическом решении игры.

Вычислим средний выигрыш первого игрока, при условии, что он применяет свою смешанную стратегию, а второй – свою чистую j -ю стратегию:

Получаем:

Строим соответствующие прямые линии в прямоугольной системе координат:

Цель второго игрока – минимизировать выигрыш первого за счет выбора своих стратегий, поэтому берем самые нижние отрезки. Цель первого игрока – максимизировать выигрыш за счет выбора 1 x , поэтому берем самую высокую точку M (см. чертеж).

Те линии стратегии, пересечением которых образована точка M , являются активными стратегиями игрока B , в нашем случае это 1 B и 3 B . Таким образом, игра сводится к игре 2×2 с матрицей

Находим оптимальные стратегии:

6x ₁ −1= −5x₁+5=v,

x₁ +x₂ =1.

Откуда

Теперь найдем стратегии второго игрока:

Получили