Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных затрат

Для всех элементов матриц А и В выполняется неравенство b_ij ≥ a_ij,     , так как коэффициенты полных затрат b_ij не только непосредственные поставки продукции отрасли i для отрасли j, но и поставки продукции отрасли I другим отраслям.

Кроме того, для диагональных элементов матрицы B следует: b_ii ≥ 1,  

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб:

Рисунок 1 - Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат

Полные затраты электроэнергии складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. При этом выполняется равенство , где А – матрица коэффициентов прямых затрат, А² – косвенные затраты первого порядка, А³ – косвенные затраты второго порядка,

Важнейшие виды балансовых моделей:

• межотраслевые балансы;

• частные материальные, трудовые и финансовые балансы;

• матричные промфинпланы предприятий и фирм.

Единицы измерения всех величин в балансовых моделях могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы, затраты труда и т.п.) или стоимостными.

В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы.

Экономический смысл a_ij (в случае стоимостного баланса): Из соотношения (2) x_ij=a_ij ·Х_j видно, что a_ij совпадает со значением x_ij при Х_j = 1 (1 рубль). Т.е., aij это стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции отрасли j

Матрица А прямых затрат в балансовых моделях является основой информационного обеспечения, она отражает продуктивность экономической системы. Поэтому до начала планирования следует выяснить является ли матрица А продуктивной.

Для того, чтобы матрица А коэффициентов прямых материальных затрат была продуктивной Необходимо и Достаточно:

1. Существование неотрицательного вектора валовой продукции Х≥0 и неотрицательного вектора конечной продукции Y≥0, удовлетворяющих балансовой модели.

2. Наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А строго меньше единицы;

3. Существование для матрицы (Е – А) неотрицательной обратной матрицы (Е – А)^-1≥0.

4. М атричный ряд сходится, причем его сумма равна матрице В.

Где А – матрица коэффициентов прямых затрат, А² – косвенные затраты первого порядка

А³ – косвенные затраты второго порядка и …

Доказательство: B = E + A + A² + A³ + ... (7) Умножим обе части на (E - A): B(E - A) = (E + A + A² + A³ + ...)(E - A), B(E - A) = E + A + A² + A³ + ..- A - A² - A³ - ...,

B(E - A) = E Þ B = E / (E - A), Þ B = (E - A)^-1. Доказано.

Следствие из 4.

Если матрица А ≥0 и сумма элементов каждой строки (столбца) не больше единицы и хотя бы для одной строки (столбца) строго меньше единицы, то матрица А продуктивна.

Данный критерий является достаточным, т.е. если он не выполняется, то надо использовать другие критерии и только потом делать вывод о продуктивности матрицы А.

Доказательство (для строки). используя соотношение (1), можно записать: из соотношения (2) следует, что: откуда следует, что

Экономический смысл последнего критерия: сумма элементов любого столбца q ≤1. В стоимостной модели баланса q<1, это означает, что суммарный вклад всех отраслей в выпуск 1руб. продукции отрасли j меньше 1, т.е., что отрасль j рентабельна.

Примечание. Если продуктивна матрица A≥ 0, то продуктивна и матрица A^T.