Московский государственный

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ )

Кафедра «Прикладная математика –1»

Ю.П. Власов, Е.В. Мельниченко

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания к практическим занятиям с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad

Москва - 2006 московский государственный

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ( МИИТ )

Кафедра «Прикладная математика –1»

Ю.П. Власов, Е.В. Мельниченко

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Рекомендовано редакционно-издательским

советом университета в качестве методических

указаний

для студентов специальности АТС

Москва – 2006

УДК 004

В-58

Власов Ю.П., Мельниченко Е.В. Теория вероятностей. Методические указания к практическим занятиям с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad.- М.: МИИТ, 2006. - 52 с.

Методические указания содержат задания по дисциплине «Высшая математика», разделу «Теория вероятностей», выполнение которых предполагается с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad. Задания охватывают следующие темы: теоремы сложения и умножения вероятностей, законы распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение а также другие законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики. Указания предназначены для использования на практических занятиях и в самостоятельной работе студентами специальности АТС.

Московский государственный

университет путей сообщения

(МИИТ), 2006

Содержание

Предисловие…………………………..……………………4

Справочные материалы к заданию 1 ………………….….5

Задание 1. Теоремы сложения и умножения вероятностей…………………………………………………………..6

Справочные материалы к заданию 2……………………..17

Задание 2. Законы распределения случайных величин:

биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение………………………..20

Справочные материалы к заданию 3……………………..36

Задание 3. Законы распределения дискретных и непре-рывных случайных величин и их характеристики………38

Список использованных источников………………..........51

Предисловие

Методические указания “Теория вероятностей” предназна­чены для использования при изучении соответствующего раздела дисциплины “Высшая математика”. Содержание указаний согласовано с программой четвертого семестра по дисциплине «Высшая математика» для студентов специальности АТС.

Данные методические указания должны помочь студенту на практических занятиях и при выполнении домашних заданий с использованием системы автоматизированных математических вычислений Маthcad при изучении теории вероятностей. Задания соответствуют следующим темам:

1. Теоремы сложения и умножения вероятностей;

2. Законы распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение;

3. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики.

Каждый раздел содержит 3 задания по 26 вариантов в каждом. Студент выполняет один вариант каждого задания. В качестве примеров рассмотрены задания 26 варианта. Каждый раздел указаний снабжен справочными материалами. Предполагается, что при выполнении заданий студент также будет использовать лекции и литературу по дисциплине “Высшая математика “ и системе Mathcad.

Справочные материалы к заданию 1.

Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В: С=А+В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В: С= .

Для суммы событий справедлива формула:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), где

P(A+B) – вероятность суммы событий А и В,

Р(А) – вероятность события А,

Р(В) – вероятность события В,

Р(АВ) – вероятность произведения событий А и В.

Для произведения событий справедлива формула:

P(АВ) = Р(А)· Р(В|A) = P(B) · P(A|B), где

P(A|B) – вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В,

P(В|А) – вероятность того, что произошло событие В при условии, что произошло событие А.

Вероятность того, что устройство проработает без отказов в течение заданного времени Т, называется надежностью.

Задание 1.

Представьте в письменной форме схему работы устройства. Задайте формулой зависимость вероятности безотказной работы данного устройства от значения аргумента р при заданных значениях других параметров, считая, что все элементы устройства работают независимо. Постройте в одной системе координат графики полученных зависимостей, считая, что р изменяется от 0,05 до 0,95 с шагом 0,05 (кроме вариантов 6, 13, 16). При выполнении вариантов 6, 13, 16 определите зависимость надежности устройства от значения аргумента n при заданных значениях других параметров, считая, что n изменяется от 1 до 10 с шагом 1. После построения графиков проанализируйте особенности полученных зависимостей и дайте им объяснение.

Вариант1. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство выходит из строя, если из строя вышли или элементы А₁ и А₂ одновременно, или элемент А₃, или все элементы вместе. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₁=р₂ при р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 2. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны р₁, р₂, р₃ и р₄ соответственно. Устройство исправно, если работает хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и одновременно работает хотя бы один из элементов А₃ или А₄. Найдите зависимость надежности устройства от значения р=р₁=р₂ при р₃=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 3. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂, или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₃ при р₂=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 4. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых равны р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если из строя выходит хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃ и одновременно из строя выходит хотя бы один из элементов А₄, А₅, А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃ при р₄=р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 5. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃ , и исправен хотя бы один из элементов А₄, А₅, и исправен элемент А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃ при р₄=р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 6. Устройство состоит из n элементов и выходит из строя, если вышел из строя хотя бы один из них. Надежность каждого элемента равна р. Найдите зависимость надежности устройства от числа элементов n. При каком максимальном количестве элементов надежность устройства будет не меньше, чем 0.9, если р = 0.99?

Вариант 7. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых одинаковы и равны р. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂, или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р.

Вариант 8. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и исправен элемент А₃. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₁ при р₂=0,2 р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 9. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых равны р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство исправно, если работают все три элемента А₁, А₂ и А₃, или работают все три элемента А₄, А₅ и А₆, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂ при р₃=р₄=р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 10. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых в течение времени T равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и исправен элемент А₃. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₃ при р₁=р₂=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 11. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны р₁, р₂, р₃ и р₄ соответственно. Устройство выходит из строя, если произошло хотя бы одно из событий: элементы А₁ и А₂ вышли из строя одновременно или элементы А₃и А₄ вышли из строя одновременно. Найдите зависимость надежности устройства от значения р=р₂=р₃ при р₁=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 12. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, элементы А₁, А₂, А₃ одновременно вышли из строя, или элементы А₄, А₅ одновременно вышли из строя, или элемент А₆ вышел из строя. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₄=р₆ при различных значениях р₂=р₃=р₅=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 13. Устройство состоит из n элементов и выходит из строя, если одновременно вышли из строя все элементы. Надежность каждого элемента равна р. Найдите зависимость надежности устройства от числа элементов n. При каком минимальном количестве элементов надежность устройства будет не меньше, чем 0.9, если р = 0.7?

Вариант 14. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂, или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂ при р₃=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 15. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых одинаковы и равны р. Устройство исправно, если работают все три элемента А₁, А₂ и А₃, или работают все три элемента А₄, А₅ и А₆, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р.

Вариант 16. Устройство состоит из двух блоков B и С, содержащих по n элементов. Надежность каждого элемента равна p. Блок B выходит из строя, если выходят из строя все элементы, входящие в него. Блок С выходит из строя, если выходит из строя хотя бы один из элементов, входящих в него. Устройство в целом выходит из строя, если выходит из строя хотя бы один из блоков B или C. Найти зависимость надёжности всего устройства от числа элементов n, при значениях p = 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 17. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны р₁, р₂, р₃ и р₄ соответственно. Устройство исправно, если работает хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и работает хотя бы один из элементов А₃ или А₄ или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от значения р=р₁=р₂=р₃ при р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 18. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, элементы А₁, А₂, А₃ одновременно вышли из строя или элементы А₄, А₅ одновременно вышли из строя или элемент А₆ вышел из строя. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃=р₄ при р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 19. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых равны р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, из строя выходит хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃ и, одновременно, из строя выходит хотя бы один из элементов А₄, А₅, А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁ при р₂=р₃=р₄=р₅= =р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 20. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежность которых одинакова и равна р. Устройство выходит из строя, если произошло хотя бы одно из событий: элементы А₁ и А₂ вышли из строя одновременно или элементы А₃ и А₄ вышли из строя одновременно. Найдите зависимость надежности устройства от значения р.

Вариант 21. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых в течение времени T равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство выходит из строя, если из строя вышли или элементы А₁ и А₂ одновременно, или элемент А₃, или все элементы вместе. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₂ при р₁=0,5 и р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 22. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃ , и исправен хотя бы один из элементов А₄, А₅, и исправен элемент А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₄=р₅ при р₁=р₂=р₃=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 23. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, элементы А₁, А₂, А₃ одновременно вышли из строя или элементы А₄, А₅ одновременно вышли из строя или элемент А₆ вышел из строя. Найдите зависимость надежности устройства от р.

Вариант 24. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂ или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃ при р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 25. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых одинаковы и равны р. Устройство выходит из строя, если из строя вышли или элементы А₁ и А₂ одновременно, или элемент А₃, или все элементы вместе. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р.

Вариант 26. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство выходит из строя, если из строя одновременно выходят элементы А₁, А₂, А₃, или выходит из строя элемент А₄, или из строя выходят все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₄ при р₁=0,5, р₂=р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Пример выполнения задания 1. Вариант 26.

Составим схему работы устройства:

А1

А3

А4

А2

Определим вероятность безотказной работы устройства. Для этого найдем вероятность отказа первой части устройства, состоящей из элементов А₁, А₂ и А₃: так как (1-p_i) – вероятность отказа элемента А_i (i=1, 2, 3), то по теореме умножения вероятностей искомая вероятность равна . Тогда вероятность работы первой части устройства, как вероятность противоположного события, равна . Соответственно, надежность всей схемы, по теореме умножения вероятностей, равна .

Вычислим, используя систему Mathcad, вероятность работы устройства при заданных значениях р₁, р₂ и р₃, считая, что р₄ принимает значения от 0,05 до 0,95 с шагом 0,05. Далее р_2i и p_3i – вероятности безотказной работы элементов А₂ и А₃ соответственно при i-ом наборе значений.

Построим графики полученных зависимостей:

Проанализируем полученный результат. При фиксированных значениях р₁, р₂, р₃ из формулы для вычисления вероятности безотказной работы видно, что зависимость от р₄ – линейная, а угловой коэффициент определяется значениями р₁, р₂, р₃.

Справочные материалы к заданию 2.

Далее приведены таблицы с основными свойствами пяти законов распределения случайной величины:

дискретные случайные величины

Название распределения	Пара-метры	Закон распределения	MX	DX
Биномиальное
Пуассона

непрерывные случайные величины

Название распределения	Пара-метры	Закон распределения	MX	DX
Равномерное на отрезке
Экспоненциальное
Нормальное

Примечания.

1. q=1-p

2. В таблице приведены для непрерывных величин выражения для плотностей распределения. Естественно, закон распределения можно также задать выражением для функции распределения.

Некоторые предельные теоремы теории вероятностей.

Локальная теорема Муавра – Лапласа.

Если , где n – количество независимых одинаковых опытов, в каждом из которых вероятность благоприятного исхода равна p, то закон распределения случайной величины – количества благоприятных исходов m в серии из n опытов сходится по вероятности к плотности нормального распределения

.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Если , где n – количество независимых одинаковых опытов, в каждом из которых вероятность благоприятного исхода равна p, то функция распределения случайной величины – количества благоприятных исходов m в серии из n опытов сходится по вероятности к функции нормального распределения:

.

Теорема Пуассона.

Если , то вероятность того, что количество благоприятных исходов равно m, по вероятности сходится к величине, определяемой по формуле Пуассона:

.

При выполнении задания 2 предполагается использование встроенных функций системы Mathcad, таких как плотность распределения и функция распределения вероятностей для перечисленных выше законов. Обращение к этим функциям производится по имени. Имена и набор аргументов приведены в таблице:

Распределение	Плотность распределения	Функция распределения
биномиальное	dbinom(m,n,p)
Пуассона	dpois(m,a)
равномерное	dunif(x,a,b)	punif(x,a,b)
экспоненциальное	dexp(x,λ)	pexp(x,λ)
нормальное	dnorm(x,m,σ)	pnorm(x,m,σ)

Для того, чтобы обраться к одной из приведенных функций, необходимо выбрать кнопку f(x) на панели инструментов. В появившемся окне Insert Function выбрать категорию Probability Density (плотность вероятностей) или Probability Distribution (функция распределения), а затем имя функции.

Задание 2.

Каждый вариант второго задания состоит из двух пунктов:

2.1. Изучение пяти законов распределения;

2.2. Решение задачи с помощью одного из пяти законов распределения.

Задание 2.1.

Величина распределена по биномиальному закону. Постройте в одной системе координат многоугольники распределения для серии из n = N+5 (N - номер варианта) независимых испытаний с вероятностью успеха p = 0,1; 0,5; 0,9. Как изменяются вероятности при изменении р? Найдите математическое ожидание МХ и дисперсию DX случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина распределена по закону Пуассона. Постройте в одной системе координат многоугольники распределения при значениях параметра распределения а = N/10; N/5; N/2. Как изменяются вероятности при изменении величины а? Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина равномерно распределена на отрезке [a,b]. Постройте в одной прямоугольной системе координат графики плотности распределения при следующих значениях параметров а и b: а=N-5, b=N; a=N, b=N+5; a=N-5, b=N+5. Постройте в другой прямоугольной системе координат графики функции равномерного распределения при тех же значениях параметра. Объясните качественно поведение графиков. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина распределена по экспоненциальному закону. Постройте в одной прямоугольной системе координат графики плотности распределения при следующих значениях параметра λ: λ= N/10; N/5; N/2. Постройте в другой прямоугольной системе координат графики функции экспоненциального распределения при тех же значениях параметра.

Объясните качественно поведение плотности распределения и функции распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Величина распределена по нормальному закону. Постройте в двух различных прямоугольных системах координат графики плотности распределения при следующих значениях параметров m и σ:

1) среднее квадратическое отклонение постоянно, математическое ожидание m изменяется:

σ =1; m=N-1; N, N+1;

2) среднее квадратическое отклонение изменяется, математическое ожидание m постоянно:

m=N; , , .

Постройте в двух других прямоугольных системах координат графики функции нормального распределения при тех же значениях параметров. Объясните качественно поведение плотности распределения и функции распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины при заданных параметрах распределения.

Пример выполнения задания 2.1. Вариант 26.

Замечание: в примере выполнения варианта 26 не проведен качественный анализ поведения графиков плотности распределения и функции распределения в зависимости от значений параметров. Предполагается, что студент должен сделать это самостоятельно.

Биномиальное распределение

Распределение Пуассона

Равномерное распределение

Экспоненциальное распределение

Нормальное распределение

1. Среднее квадратическое отклонение постоянно, изменяется математическое ожидание:

2. Математическое ожидание постоянно, изменяется среднее квадратическое отклонение:

Задание 2.2

Вариант 1. Колоду из 52 карт тщательно перемешивают и потом из нее вытаскивают 3 карты. Смотрят эти карты и затем возвращают назад. Такие действия повторяют 10 раз. Найдите вероятность того, что 3 раза будут вытянуты тройка, семерка, туз.

Вариант 2. Радиостанция ведет автоматическую передачу цифрового текста в течении 12 мкс. Работа ее происходит при наличии хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов которой в секунду составляет 10000. Для срыва передачи достаточно попадания k импульсов помехи в период работы станции (k=1, 2, 3) . Вычислите вероятность срыва передачи станции в течение сеанса работы.

Вариант 3. На зачете преподаватель предлагает студенту наугад выбрать три вопроса из 60. Студент получит зачет, если правильно ответит на все вопросы. На зачет явилось 26 студентов, каждый из которых выучил ответы на 45 вопросов. Какова вероятность того, что не менее половины группы получат зачет?

Вариант 4. Магазин продает в течение одного дня 400 коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что выбранная коробка окажется коробкой с сюрпризом, равна 0,005. Найдите вероятность того, что в течение дня будет продано не менее 5 коробок с сюрпризом.

Вариант 5. Автомобили заезжают на платную автостоянку. Для заезда и оплаты используется автоматический шлагбаум. Время, затрачиваемое на обслуживание одного автомобиля, включая открытие и закрытие шлагбаума, равно 3 минутам. Какова вероятность того, что за это время не подъедет следующий автомобиль, если в среднем поток заезжающих автомобилей составляет 10 автомобилей в час?

Вариант 6. Пара игральных костей бросается 10 раз. Найдите вероятность того, что 5 раз сумма выпавших на игральных костях очков окажется равной шести.

Вариант 7. Провайдер обслуживает 2000 абонентов сети Интернет. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна 0,002. Найдите вероятность того, что в течение часа более 7 абонентов попытаются войти в сеть.

Вариант 8. С вероятностью 0,65 орудие при выстреле поражает цель. Произведено 400 выстрелов. Найдите вероятность того, что при этом произошло не менее 200 и не более 250 попаданий.

Вариант 9. Оператор принимает заказы на билеты по телефону. В среднем он принимается 10 заказов в час. Оператор был вынужден по указанию начальника прервать прием заказов на 5 минут. Считая все заказы независимыми и пренебрегая временем обслуживания заказа, найдите вероятность того, что в течение этих 5 минут не поступит ни одного звонка.

Вариант 10. В баскетбольной команде процент реализации штрафных бросков равен 60. Найдите вероятность того, что из 100 бросков от 70 до 80 бросков будут успешными.

Вариант 11. Из-за бракованной упаковки в ящике оказались перемешаны сопротивления, имеющие различный номинал, а именно: 100 сопротивлений по 200 Ком, 200 сопротивлений по 100 Ком и 50 сопротивлений по 500 Ком. Из ящика, делая 10 попыток, пытаются достать три сопротивления номиналом 200 Ком за одну попытку. Какова вероятность успешно выполнить задачу 7 раз?

Вариант 12. Вероятность того, что саженец ели прижился и будет успешно расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев ели. Какова вероятность того, что нормально вырастут не менее 250 саженцев ели?

Вариант 13. На факультете обучаются 500 студентов. Найдите вероятность того, что k студентов (k = 0, 1, 2, 3) имеют день рождения 1 апреля. Вероятность определенной даты рождения не зависит от самой даты и даты не зависят друг от друга.

Вариант 14. Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва нитки на одном веретене в течение часа 0,005. Какова вероятность того, что в течение часа нитка оборвется не больше чем на 10 веретенах?

Вариант 15. Вероятность того, что некий прибор безотказно проработает 1 час, равна 0,9. Какова вероятность того, что прибор безотказно проработает сутки?

Вариант 16. Читателю предложено расставить в порядке возрастания или убывания на книжной полке десятитомное собрание сочинений с закрытыми глазами. Перед каждой новой попыткой тома перемешиваются. Какова вероятность того, что в десяти попытках читателю удастся успешно выполнить поставленную задачу три раза?

Вариант 17. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение часа любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005. Найдите вероятность того, что в течение часа было не более 7 вызовов.

Вариант 18. В супермаркете примерно 1% единиц товара оказывается без маркировки. Каждая единица немаркированного товара задерживает покупателя при оплате на 3 минуты. Покупатель выбрал 30 единиц товара. Найдите вероятность того, что он будет задержан при оплате не более чем на 3 минуты.

Вариант 19. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми? Считать, что вероятность дождя в любой день сентября одинакова.

Вариант 20. В каждом из 1000 ящиков 5000 белых и столько же черных пуговиц. Из каждого ящика наугад вынимаются по 3 пуговицы. Какова вероятность того, что число ящиков, из которых вынуты 3 пуговицы одного цвета, не меньше, чем 220 и не больше, чем 260?

Вариант 21. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайно номер телефона. Номер телефона семизначный. Делается пятнадцать попыток. Попытка считается удачной, если все цифры номера окажутся разными. Какова вероятность того, что будет сделано три удачных попытки? Считать, что расположение каждого номера не зависит от расположения остальных и в книге присутствуют все возможные семизначные номера.

Вариант 22. В пакете содержится 50 семян огурцов. Всхожесть семян равна 0,75. При посадке использован весь пакет. Найдите вероятность того, что взойдет 38 семян.

Вариант 23. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найдите вероятность того, что на выбранной странице не более трех опечаток.

Вариант 24. По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 240 наугад выбранных кинескопов 200 проработают гарантийный срок?

Вариант 25. В Сберегательном банке у кассы для оплаты коммунальных услуг образовалась очередь. Крайний в очереди хочет отойти после того, как за ним займет очередь следующий плательщик. Он прождал 5 минут. Какова вероятность того, что он простоит еще 5 минут, если в среднем занимают очередь 10 человек в час?

Вариант 26. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?

Пример выполнения задания 2.2. Вариант 26.

Рассмотрим один бросок кости и вычислим вероятность того, что выпадет число очков, кратное трем. Общее количество равновероятных исходов броска - 6 (число очков равно 1, 2, 3, 4, 5,6 ). Из них количество благоприятных исходов равно 2 (3 и 6). По формуле классического определения вероятности р= . Количество бросков n=800 (n>>1), количество выпавших очков, кратных трем, (m>>1). Предполагая, что условия предельной интегральной теоремы Муавра – Лапласа выполнены, проведем вычисления в системе Mathcad для получения ответа:

Справочные материалы к заданию 3.

Функцией распределения F(х) называется функция, равная вероятности того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение, меньшее значения аргумента х: .

Условие нормировки:

для дискретной случайной величины ;

для непрерывной случайной величины

Соотношение между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей для непрерывной случайной величины:

Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал [a;b):

;

для непрерывной случайной величины .

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины вычисляются по формулам:

, .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины вычисляются по формулам:

,

.

Задание 3.

Каждый вариант третьего задания состоит из двух пунктов:

3.1. Изучение закона распределения непрерывной величины;

3.2. Изучение закона распределения дискретной величины.

Задание 3.1.

Дана функция плотности распределения f(x) случайной величины Х.

1. Найдите значение константы с.

2. Постройте график функции плотности распределения y=f(x).

3. Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график.

4. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

5. Найдите вероятность того, что значение случайной величины попадет в отрезок .

N		a	b
1
2
3			0
4			1
5
6		0	1
7			1
8		0	2
9
10			2
11			1
12		0	2
13
14
15		1	3
16		1	2
17		0
18		0
19			1
20
21
22
23
24			2
25
26		0.1	0.5

Пример выполнения задания 3.1. Вариант 26.

Используя условие нормировки, найдем значение константы:

Зададим плотность распределения (для определения кусочно-непрерывной функции используется AddLine панели математических инструментов programming) и построим ее график:

Вычисляя интеграл от плотности распределения, зададим функцию распределения вероятностей и построим ее график. В связи с тем, что, по умолчанию, вычисления в системе Mathcad проводятся с точностью до 20 знаков, воспользуемся функцией float панели Symbolic, которая позволяет выводить результат с выбранным количеством знаков, в данном примере с четырьмя.

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

Найдем вероятность попадания случайной величины в отрезок :

.

Задание 3.2

Задан ряд распределения дискретной случайной величины.

1. Найдите значение р.

2. Постройте многоугольник распределения.

3. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.

4. Найдите функцию распределения и постройте ее график.

5. Найдите вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал [a;b).

Вариант 1		Вариант 2		Вариант 3
x	p	x	p	x	p
1	0.1	-3	0.1	-10	0.6
3	0.01	-2	0.1	-3	0.05
5	0.3	0	0.05	0	0.05
5,1	p	1.5	0.05	5	p
5,2	0.3	1.7	0.07	6	0.1
5,5	0.2	2	p	10	0.05
a=2 b=4		a=-1 b=1,8		a=2 b=9

Вариант 4		Вариант 5		Вариант 6
x	p	x	p	x	p
3	0,1	-10	0,1	1	0,6
2	0,01	-7	0,1	3	0,05
1	0,3	-6.5	0,05	6	0,05
0.5	p	-6	0,05	7	p
0	0,3	-4	0,07	8	0,1
-1	0,2	-1	p	10	0,05
a=1.5 b=2,5		a=-9 b=-5		a=2 b=12

Вариант 7		Вариант 8		Вариант 9
x	p	x	p	x	p
-2,5	0,05	-8	2р	-3	0,2
-2,2	0,15	-3,5	0,2	-1	р
-2	р	-1	0,15	2	0,05
-1,5	0,5	-0,8	0,3	3,5	0,25
-1,3	0,1	-0,4	р	7	0,3
-0,8	0,05	0	0,2	8	0,05
a=-1 b=1		a=-6 b=-1,2		a=-4 b=0

Вариант 10		Вариант 11		Вариант 12
x	p	x	p	x	p
3	0,4	1,4	0,05	25	0,2
5	0,05	2,5	0,3	27	р
6	0,1	3,0	р	28,5	0,2
8	0,15	6,5	0,2	30	2р
9	р	7,9	0,15	31	0,15
11	0,2	8	0,2	34	0,05
a=4 b=7		a=2.8 b=7.5		a=26 b=38

Вариант 13		Вариант 14		Вариант 15
x	p	x	p	x	p
-4,5	0,25	-31	3р	-2	0,35
-2	0,1	-29	0,1	-1,5	0,1
-1,5	р	-28	0,2	-0,7	р
-1	0,2	-24	2р	2	0,15
1	0,05	-21	0,4	6	0,25
6	0,25	-19	р	7	0,1
a=2 b=4		a=-20 b=1		a=2,4 b=9

Вариант 16		Вариант 17		Вариант 18
x	p	x	p	x	p
-4	0,2	-13	0,05	-6	0,1
3	0,1	-10	0,1	-2,5	0,15
5	0,15	-9	0,35	-1	р
7	0,05	-6	0,25	2	0,2
8	0,3	-5	р	4	0,05
9	р	-2	0,1	8	0,2
a=2 b=6		a=-8 b=-4		a=1 b=9

Вариант 19		Вариант 20		Вариант 21
x	p	x	p	x	p
42	0,3	-8,5	0,15	1	р
36	р	-8	0,2	2	0,15
34	0,15	-6	0,3	2,4	0,1
30	р	-3,5	р	3,5	0,25
27	0,05	-2,9	0,25	7	0,2
25	0,1	-1	р	9	0,1
a=32 b=38		a=-7 b=-1.5		a=2.2 b=8.5

Вариант 22		Вариант 23		Вариант 24
x	p	x	p	x	p
-6,5	0,4	-8	0,25	1,2	0,05
-4	р	-7,2	0,3	1,5	3р
-2,7	0,15	-6	р	1,9	0,2
4	0,1	-1,8	2р	2,3	2р
7	0,2	3	0,05	2,4	0,15
8,1	0,05	7,4	0,1	2,7	0,1
a=3 b=5		a=-12 b=12		a=1.3 b=2.6

Вариант 25		Вариант 26
x	p	x	p
-2	0,2	-4	3р
1	0,05	-3,5	0,1
2	0,1	-1	0,15
3	0,2	1	0,3
5	р	2	0,2
8	0,15	2,5	2р
a=0 b=6		a=-3 b=1,5

Пример выполнения задания 3.2. Вариант 26

Используя условие нормировки для дискретной случайной величины, составим уравнение, решив которое найдем значение р:

Представим значения случайной величины и вероятности их получения в результате опыта в виде вектор - столбцов:

и построим многоугольник распределения:

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

Зададим аналитически функцию распределения. Для этого отметим, что справедливы следующие утверждения:

если , то ;

если , то ;

если , то

;

если , то

;

если , то

;

если , то

;

если , то

Как известно, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно – постоянной, а ее график имеет ступенчатый вид. Вообще, график подобной функции в системе Mathcad содержит вертикальные линии, которые можно удалить, выполнив следующие действия: вызовите окно форматирования графика Formatting Currently Selected X-Y Plot, выберите закладку Traces,а в поле Type – тип построения линии points.

Чтобы задать в системе Mathcad кусочную функцию, введите имя функции и знак присваивания. Затем выберите панель Programming и на ней функцию Add Line. Введите выражение для вычисления функции F(y) на первом промежутке (замена аргумента х на у связана с особенностями выполнения задания в системе Mathcad). На той же панели Programming выберите функцию if и введите в свободной позиции неравенства, описывающие первый интервал. После этого перейдите в свободную позицию второй строки и повторите описанные выше действия. Для получения третьей строки необходимо выделить вторую строку, нажимая клавишу пробел, и выбрать функцию Add Line. Эти действия выполняются до получения всех 7 строк.

Построим график функции распределения F(y):

Найдем вероятность попадания значений случайной величины в интервал [-3;1.5):

.

Список использованных источников.

1. Дьяконов В. Mathcad 2000. Учебный курс. СП., 2001.

2. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2003.

3. Черняк А.А., Черняк Ж.А., Доманова Ю.А. Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс. СП., 2004.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1999.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2003.

6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2003.

7. Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2005.

Учебно-методическое издание

Власов Юрий Павлович,

Мельниченко Елена Вячеславовна

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания к практическим занятиям с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad