5. Еліпс може бути заданий параметричними рівняннями.

, , 0≤ < . Координати точок кола радіуса з центром у початку координат виражаються через величину кута між радіусом-вектором точки Р і віссю Ох так: , , 0≤ < .

Отже, координати х і у точок еліпса виражаються через той самий параметр рівняннями , , 0≤ < .

Справді, , , 0≤ < .

При дістанемо параметричне рівняння кола.

Гіпербола і парабола. Їх канонічні рівняння

1. Канонічне рівняння гіперболи.

Гіперболою називається множина точок площини, для кожної з яких модуль різниці відстаней до двох даних точок кожної з яких модуль різниці відстаней до двох даних точок площини сталий і менший за відстань між цими точками.

Такі точки називаються фокусами гіперболи, а відстань між ними – фокальною відстанню.

Позначимо фокуси гіперболи буквами і . Нехай фокальна відстань .

Якщо М – довільна точка гіперболи, то за означенням гіперболи модуль різниці . Дана рівність є рівнянням гіперболи.

Зазначимо, що за означенням гіперболи < , тобто < .

Виберемо систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через середину відрізка перпендикулярно до нього. Тоді фокусами гіперболи будуть точки і .

Нехай - будь-яка точка гіперболи, тоді і .

Підставляючи значення і в рівняння гіперболи, дістанемо |С |=2а. Це рівняння є рівнянням гіперболи у вибраній системі координат. Його можна звести до більш простого вигляду.

Нехай , тоді рівняння можна буде записати без знака модуля , або .

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата матимемо . Після відповідних спрощень і перетворень дістанемо ,

За означенням гіперболи < , тому - додатне число. Тоді рівняння набирає вигляду . Розділивши почленно на .

Якщо <0, то рівняння записують без знака модуля , і так само, як при , зводиться до виду . Рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.

2. Властивості гіперболи.

1. Гіпербола не має спільних точок з віссю Оу, а вісь Ох перетинає в двох точках.

Щоб визначити координати точок перетину гіперболи з віссю Ох, треба розв’язати сумісно їх рівняння , .

Підставляючи в рівняння гіперболи, дістанемо , а означає, що система не має розв’язків. Отже, гіпербола не перетинає вісь ординат.

Щоб визначити координати точок перетину гіперболи і з віссю Ох, треба розв’язати сумісно їх рівняння і . Точка перетину гіперболи з віссю Ох повинна мати ординату і, крім того, повинна належати гіперболі. Підставивши в рівняння гіперболи, дістанемо . Отже, точками перетину гіперболи з віссю Ох будуть точки і , вони називаються вершинами гіперболи.

Відрізок А₁А₂ називається дійсною віссю гіперболи. Довжина відрізка А₁А₂, очевидно, дорівнює 2а. Число а називають дійсною піввіссю гіперболи, число b – уявною піввіссю.

2. Гіпербола має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.

В рівняння гіперболи змінні х і у входять тільки у другому степені. Таким чином, якщо координати точки задовольняють рівняння гіперболи, то це рівняння задовольнятимуть і координати точок і .

Легко бачити, що точка симетрична точці відносно осі ординат, точка симетрична точці відносно осі абсцис. Таким чином, гіпербола має дві осі симетрії, вони взаємно перпендикулярні.

3. Гіпербола має центр симетрії.

Якщо координати точки задовольняють рівняння гіперболи, то це саме рівняння задовольняють і координати точки . Точка К, очевидно, симетрична точці відносно початку координат. Таким чином, гіпербола має центр симетрії. Центр симетрії гіперболи називається центром гіперболи.