Поняття кривих другого порядку. Коло та його рівняння

1. Поняття кривих другого порядку.

Лініями (кривими) другого порядку називаються лінії, що визначаються рівняннями другого степеня відносно координат х і у: .

Коефіцієнти рівняння можуть набувати різних дійсних значень, виключаючи одночасну рівність А, В, С нулю (в протилежному випадку дане рівняння не буде рівнянням другого степеня).

2. Коло та його рівняння.

Колом називається множина точок площини, рівновіддалених від даної точки, яка називається центром.

Якщо точка С - центр кола, R - її радіус, М- довільна точка кола, то за означенням кола .

Дана рівність є рівнянням кола радіуса R з центром у точ­ці С.

Нехай на площині задано прямокутну декартову систему координат

і точку С (а,b) — центр кола радіуса R. Нехай М (х; у) — довільна точка цього кола. Оскільки , то рівняння кола можна записати так:

або .

Останнє рівняння називають загаль­ним рівнянням кола або рів­нянням кола радіуса R з центром у точці (а;b).

Напри­клад, рівняння є рівнянням кола радіуса R = 5 з цент­ром у точці (1; -3).

Якщо центр кола збігається з почат­ком координат, то загальне рівняння кола набирає вигляду , його називають канонічним рівнян­ням кола.

Нехай у прямокутній системі ко­ординат задано коло . Розглянемо його довільну точку М (х; у).

Нехай радіус-вектор точки М утворює кут величини t з додатним напрямом осі Ох, тоді абсциса і ордината точки М змінюються залежно від . Виражаючи х і у через t, знаходимо , ,

Дане рівняння називається параметричним рівнян­ням кола з центром у початку коорди­нат.

Еліпс та його канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса. Ексцентриситет еліпса та його зв'язок з колом

1. Еліпс та його канонічне рівняння.

Еліпсом називається множина точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок тієї самої площини стала і більша за відстань між цими точками.

Такі точки називаються фокусами еліпса, а відстань між ними фокальною відстанню.

З еліпсом людина має справу у різних галузях своєї діяльності. Садівник розмічає клумбу, обмежену еліпсом. Художник креслить еліптичний контур, щоб розписувати стіни або стелі залу. Ма­тематик розраховує еліптичну траєкторію руху супутника Землі. Нарешті, сама Земля, як відомо, рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Покажемо, як, виходячи з означення еліпса, можна розбити еліптичну клумбу. Заб'ємо в землю два кілочки, (рис)

потім тонку вірьовку зв'яжемо в кільце і натягнемо це кільце на обидва кілочки. Натягнувши вірьовку третім кілочком, креслимо ним еліпс. Змінюючи відстань між кілочками і довжину ві­рьовки, дістанемо еліпси різних розмірів і форм.

Позначимо фокуси еліпса буквами F₁ і F₂. Нехай фокальна відстань . Якщо М - довільна точ­ка еліпса (рис),

то за означен­ням еліпса сума ста­ла . Позначивши її через 2а, дістанемо - рівняння еліпса.

Зазначимо, що за означенням еліпса , тобто . Якщо точка F₁ збігається з точкою F₂, то рівняння еліпса набирає вигляду , тобто .

Це рівняння є рівнянням кола радіуса а з центром у точці . Таким чином, коло є окремим випадком еліпса.

Виберемо систему координат так, щоб вісь абсцис прохо­дила через фокуси еліпса, вісь ординат проведемо через се­редину відрізка F₁F₂ перпендикулярно до нього. Тоді фоку­сами будуть точки і (рис.).

Нехай М (х; у) — будь-яка точка еліпса, тоді і

Підставляючи знайдені значення в рівнян­ня еліпса, дістанемо + =2а.

Рівняння є рівнянням еліпса у вибраній системі коор­динат. Це рівняння можна звести до більш простого виду. Для цього спочатку перенесемо другий доданок з лівої частини рівняння в праву: =2а -

Тепер піднесемо обидві частини цього рівняння до квадрата:

.

Після спрощень дістанемо .

Піднісши до квадрата обидві частини рівняння , матимемо

або

звідки .

За означенням еліпса а > с, тому а²–с² додатне чис­ло. Позначимо його через b², тобто покладемо b²= а²–с². Тоді рівняння набере вигляду .

Розділивши обидві частини останньої рівності на b², діста­немо

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса.

Якщо а = b, тобто, с = 0, рівняння матиме вигляд отже, воно є канонічним рівнянням кола.