2. Властивості еліпса.

1. Еліпс перетинає кожну із своїх осей координат у двох точках.

Щоб визначити координати точок перетину еліпса з віссю Ох, треба розв’язати сумісно їхні рівняння , . Точка перетину еліпса з віссю Ох повинна мати ординату і, крім того, належати еліпсу. Підставивши в рівняння еліпса, дістанемо .

Отже, точками перетину еліпса з віссю Ох будуть , . Аналогічно знаходимо точки перетину еліпса з віссю Оу: , .

Точки А, В, С, D називаються вершинами еліпса.

Відрізок АС називається великою віссю еліпса, відрізок ВD – малою віссю. Фокуси F₁ i F₂ еліпса лежать на великій осі. Довжина великої осі, очевидно, дорівнює 2а, малої осі – 2b. Числа а і b називаються півосями еліпса.

2. Еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.

В рівнянні еліпса змінні х і у містяться тільки у другому степені. Отже, якщо координати точки N(x;у) задовольняють рівняння еліпса, то це саме рівняння задовольнятимуть також і координати точок і . Легко бачити, що точка симетрична точці відносно осі ординат, точка симетрична точці відносно осі абсцис.

Таким чином, еліпс має дві осі симетрії, вони взаємно перпендикулярні. Велика і мала осі еліпса лежать на його осях симетрії. В окремому випадку, коли а=b, тобто еліпс буде колом, віссю симетрії буде будь-яка пряма, що проходить через центр кола.

3. Еліпс має центр симетрії.

Якщо координати точки N(x;у) задовольняють рівняння, то це саме рівняння задовольняють і координати точки . Точка К, очевидно, симетрична точці N відносно початку координат. Таким чином, еліпс має центр симетрії. Центр симетрії називається центром еліпса.

4. Еліпс можна дістати рівномірним стисканням кола.

Розглянемо коло радіуса з центром у початку координат. Нехай - довільна точка цього кола. Тоді .

Точці на колі зіставимо точку таку, що і .

Точку дістанемо завдяки зсуву точки , при якому абсциса не змінюється, а ордината зменшується у відношенні . Координати точки задовольняють рівняння еліпса. Справді, . Отже, точка знаходиться на еліпсі. Таким чином, еліпс можна дістати з кола рівномірним стисканням до осі Ох, при якому ординати точок зменшуються в тому самому відношенні, яке дорівнює .

Звідси випливає, що форма еліпса залежить від значення відношення , чим менше це відношення, тим більш стиснутим буде еліпс, і, навпаки, чим більше відношення , тим еліпс менш стиснутий, більш округлий. Якщо значення відношення близькі до одиниці, то еліпс мало відрізняється від кола. Якщо значення відношення найбільше, тобто дорівнюватиме одиниці, то еліпс перетворюватиметься в коло.

Як характеристикою форми еліпса доцільно використовувати не відношення , а відношення .

Відношення пів фокусної відстані с до великої півосі а називається ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет позначається буквою .

Таким чином, . Оскільки 0≤с<а, то ексцентриситет еліпса задовольняє нерівності 0≤ <1 .

Подамо ексцентриситет еліпса через відношення півосей еліпса: , звідки .

З останньої формули видно, що меншим значенням відповідають більші значення ексцентриситету. Тому, чим більше ексцентриситет, тим сильніше стиснуто еліпс. При малих значеннях ексцентриситету еліпс мало відрізняється від кола. При =0 еліпс перетворюється в коло. Ексцентриситет кола, таким чином, дорівнює нулю.